多元向量值函数的微分

公式：

设：
m,n∈N,m,n≥1,
x=(x1,...,xj,...,xn)⊺,1≤j≤n,
f(x)=(f1(x),...,fi(x),...,fm(x))⊺,1≤i≤m,
f′(x)=Jf(x)=A=(aij)m×n,
Δx=((Δx1,...,Δxj,...,Δxn)⊺,1≤j≤n,
Δy=f(x+Δx)−f(x)=((Δy1,...,Δyj,...,Δym)⊺,
r=∑nj=1Δxj2−−−−−−−−−√
则：
∀i∈N,1≤i≤m,d(yi)=∑nj=1aijdxj,
⇔∀i∈N,1≤i≤m,Δyi=∑nj=1aijΔxj+r⋅αi(x,Δx),
其中 limr→0αi(x,Δx)=0,
⇔Δy=AΔx+r⋅α(x，r),
α(x,Δx)=(α1(x,Δx),...,αi(x,x),...,αm(x,Δx))⊺,1≤i≤m,
limr→0α(x,Δx)=0
⇔dy=df(x)=Adx

（易知： ∀i∈N,1≤i≤m,limr→0αi(x,Δx)=0⇔limr→0α(x,Δx)=0）

推论：

1. A=(∂∂xjfi(x))m×n
2. (dy)i=d(yi)
3. y=((y1,...,yi,...,ym)⊺,z=((z1,...,zi,...,zm)⊺ 可微,
   y+z=(y1+z1,...,yi+zi,...,ym+zm)⊺,
   则： d(y+z)=dy+dz
   证明：
   ∀i∈N,1≤i≤m,
   (d(y+z))i=d((y+z)i)
   =d(yi+zi)
   =d(yi)+d(zi)
   =(dy)i+(dz)i
   =(dy+dz)i