多元函数的极值

关于多元函数的极值和最值计算

（一）  可微函数的无条件极值

如果在区域上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法求出极值。

首先，通过解方程   得到驻点。其次，对每个驻点求出二阶偏导数：

最后利用课本定理7.8进行判断。

  函数在此点取极小值；

  函数在此点取极大值；

        函数在此点不取极值；

        不能确定。

（二）  如何求多元函数的最值

如果函数在有界闭域上连续，那么函数在有界闭域上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出在有界闭域上的最值。

首先， 在的内部求出函数的驻点及偏导数不存在的点。

其次，求出函数在的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理：

第一种情况：的边界是由显函数来表示的（包括边界是分段用显函数表示的情形），可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题来解决。

第二种情况：的边界是由 隐函数来表示的，而且函数，在包含的区域上存在二阶连续偏导数，此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。

最后， 通过比较函数在我们得到的点上的函数值，就可得到在有界闭域上的最值。

 

（三）  如何求条件极值

下面介绍求函数在约束条件下的条件极值。

第一种情况：如果确定了显函数或者，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题来解决。

第二种情况：如果函数，在区域上存在二阶连续偏导数，而且确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。首先，求出拉格朗日函数在区域内的驻点。然后用书中介绍的二阶全微分方法对每个驻点进行判断。

通常，在实际应用中只要求我们求出函数在约束条件下的最大值和最小值，此时只要比较函数在相应驻点处的函数值就可以了。