浅谈 多柱汉诺塔问题

众所周知，汉诺塔问题很经典。
这里用DP可以解决n个塔m个柱子的移动次数问题
当然想要输出步骤也可以

我们回忆一下只有三根柱子的情况：

先把n−1个盘子移到第二根柱子上，再把剩下的那一个盘子移到第三根柱子，最后再把n−1个盘子移到第三根柱子上。
如果我们用Fn来表示移动（三根柱子时）n个盘子的最小步数，按照上面的叙述，则有：
Fn=2×Fn−1+1
这样一个递推式，不写出它的通项公式是2n−1。
我们再考虑四根柱子的情况。
我们按照同样的思路，考虑到底是先留几个盘子，先移几个盘子。我们设留下r个盘子，移动n−r个盘子把他们放到第三根柱子上，再用剩下的三根柱子把移动剩下的r个盘子移动到第4根柱子上。我们同样用Fn来表示移动n个盘子的最小步数，就有这样一个式子：
Fn=min(2×Fn−r+2r−1)
同样的，如果定义dp[i][j]为把i个盘子移动到j根柱子的最小步数，就有：
dp[i][j]=min(2×dp[i−r][j]+dp[r][j−1]),1<=r<=i
关于初值，无疑dp数组要赋+inf，对于边界，也就是n=1,m=1,n=2,m=2的情况也要分别计算

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int n,m;long long f[70][70];int main() {    freopen("hanoi.in","r",stdin);    freopen("hanoi.out","w",stdout);    memset(f,-1,sizeof(f));    for (int i=1;i<65;++i)     f[1][i]=1;    for (int i=2;i<64;++i)     {        for (int j=3;j<=i+1;++j)        for (int k=1;k<i;++k)         {            if (f[k][j]==-1||f[i-k][j-1]==-1) continue;            long long temp=(f[k][j]<<1)+f[i-k][j-1];            if (f[i][j]==-1||f[i][j]>temp) f[i][j]=temp;        }        for (int j=i+2;j<65;++j) f[i][j]=f[i][j-1];    }    scanf("%d%d",&n,&m);    printf("%lld\n",f[n][m]);    return 0;}