基于图学习的图像去噪（二）——图学习算法

3.图学习在图像降噪中的经典算法

3.1 Perturbation of the Eigenvectors of the Graph Laplacian: Application to Image Denoising（EGL算法）
论文下载：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520313000626
源码链接：http://ecee.colorado.edu/~fmeyer/software.html
在图像中，将图像抽取为图像块，其中每一个图像块可以作为图论中一个顶点，根据图像块与其他图像块的相似度，构造图——图像块图。在构造的图像块的图中，根据相似度和图像块的位置关系进行度量， G表示根据图像块权重的关系构造的图并进行如下定义：
（1）G 的顶点是由 N2patch个图像块u(xn),n=1,...,N2patch 组成
（2）每一个顶点u(xn) 与其距离v 的相邻块构造图关系，具体度量公式为：
（1）
（3）由此，定义在两个顶点{u(xn),u(xm) }图的权重 定义为：
（2）
式（2）中，参数 β≥0用于控制图像块距离度量的影响。参数 δ控制在定义边权重wn,m 图像块u(xn),u(xm) 的距离相似度。
权重图的权重矩阵 W是大小为N2patch×N2patch的均衡矩阵，其中Wn,m=wn,m 。顶点的度矩阵为大小N2patch×N2patch 对角矩阵B ，其中 Bn,n=∑N2m=1wn,m，最终得到归一化的图拉普拉斯矩阵L 。具体表示为：
（3）
式（3）中， I是单位矩阵。
矩阵L 有N2patch个特征向量及其相关特征值，每一个特征向量是图的一个顶点表示的向量。特征向量是在图中定义的一个正交基函数。通过特征向量可以表示图像的结构，每一个像素的颜色编码是通过特征向量定义的，不同特征向量值表示图像的不同信息，例如图像的亮度信息在不同梯度的表示方法，图像的频率内容与相关的特征值有关。每一个基本的特征向量函数的内部度量是由图像块的大小确定的。
图拉普拉斯的特征向量降噪算法（EGL）的主要思想是通过图的特征向量作为基函数将噪声图像恢复为干净图像。具体来说，首先利用K-邻近搜索的方法对图像块 进行处理，然后通过相似度和块位置关系进行度量。
因为得到的拉普拉斯矩阵是半正定对称矩阵，所以它的特征值可以表示为 {λi}Npatchi=1，当在阶数上升时，用第一次特征值λ1=0 表示，相对应的特征向量为{ui}Npatchi=1 。
该算法为了进行图像降噪，将降噪的图像块[\widetilde Y]表示为：
（4）
式（4）中U=[u1,u2,...uH] 是包含 H个特征向量的基函数。在实际应用中，该算法通过迭代过程对含噪图像进行处理，主要分为两步：第一步，使用少数的图拉普拉斯的特征向量对含噪图像进行图像结构增强获得一个粗糙图像，将该粗糙图像作为干净图像的低通版本进行后续处理。根据得到权重平均值的含噪图像和粗糙图像，重构一个指导图像；第二步，通过相关的特征向量对指导图像进行图像降噪。上述步骤可以描述为：
（5）
式（5）中，α 是权重系数， ,r˜和g 分别是含噪图像、粗糙图像，指导图像。 在该过程中，不同数目的特征向量用来获得粗糙和降噪的图像块矩阵和。在该算法中，不考虑特征向量选择的问题。

为验证EGL算法的降噪效果，本文中采用了512×512 像素的图像集如图所示进行实验仿真。通过添加高斯噪声为σ=10,20,40 进行降噪，利用MATLAB R2010b作为仿真工具进行验证，得到的仿真结果如图4.1所示。