图论之拓扑排序基础

  一、拓扑排序原理  

   先看拓扑排序是为解决什么问题而出现的：

  在我们生活中，我们可以用活动网络来描述生产计划、施工过程、生产流程、程序流程等工程的安排问题。小到家里做饭，大到神九上天，都可以用活动网络来表示。而活动网络呢，有两种：AOV（Activity on Vertices）网络和AOE(Activity on Edges)网络。

两种活动网络，一种用点来表示活动，一种用边来表示活动。

而解决Sorting It All Out的活动网络呢，是AOV网络。

那么对于AOV网络的拓扑排序怎么做呢？

（1）选择入度为零的顶点（从顶点引出的边箭头全部都是向外的）并输出。

（2）删除该顶点及该顶点发出的所有边。

（3）重复步骤（1）和（2），直到找不到入度为0的顶点。

按照上面这样的方法，就叫做拓扑排序，其结果有两种情形：

1、 所有的顶点被输出。（整个拓扑排序完成）

2、 还有顶点没有被输出。（此图是有环图）。

也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。

是不是觉得看完概念还是很晕的感觉，下面就用一个实例来讲具体的拓扑排序样例。

（a）有向图网（AOV）  （b）输出v6后       （c）输出v1后    （d）输出v4后 （e）输出v3后 （f）输出v2后

                                                           输出排序结果：v6-v1-v4-v3-v2-v5

有向图存储：

此拓扑排序的思想是：

（1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；

（2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；

重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 -- 入度为零，删除顶点及以它为尾的弧-- 弧头顶点的入度减1。

何谓入度？

我觉得得先明白什么是度？度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。

入度：对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数。

出度：出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。

以v6这个顶点为例，它的入度为0，出度为2。

以v5这个顶点为例，它的入度为3，出度为0。

以v4这个顶点为例，它的入度为2，出度为1。

以v3这个顶点为例，它的入度为1，出度为2。

以v2这个顶点为例，它的入度为2，出度为0。

以v1这个顶点为例，它的入度为0，出度为3。

经验证，一个有向五环图中所有顶点的入度之和(0+3+2+1+2+0=8)等于所有顶点的出度之和(2+0+1+2+0+3=8)。

有先后，比如在实际生活中的选课问题，比如大一时一定要修完这门课，大二才学第二门课，这种排课问题就是拓扑排序问题。

  

二、拓扑排序经典代码

#include<iostream>  

#include<cmath>  

#include<cstdio>  

#include<algorithm>  

#include<stack>  

#include<memory.h>     

using namespace std;  

#define MAX 9999  

  

stack<int>mystack;  

int indegree[MAX];  

  

struct node   

{  

    int adjvex;  

    node* next;  

}adj[MAX];  

  

int Create(node adj[],int n,int m)//邻接表建表函数，n代表定点数，m代表边数  

{  

    int i;  

    node *p;  

    for(i=1;i<=n;i++)  

    {  

          

        adj[i].adjvex=i;  

        adj[i].next=NULL;  

    }  

    for(i=1;i<=m;i++)  

    {  

        cout<<"请输入第"<<i<<"条边:";  

        int u,v;  

        cin>>u>>v;  

        p=new node;  

        p->adjvex=v;  

        p->next=adj[u].next;  

        adj[u].next=p;  

    }  

    return 1;  

}  

  

  

void print(int n)//邻接表打印函数  

{  

    int i;  

    node *p;  

    for(i=1;i<=n;i++)  

    {  

        p=&adj[i];  

        while(p!=NULL)  

        {  

            cout<<p->adjvex<<' ';  

            p=p->next;  

        }  

        cout<<endl;  

    }  

}  

  

void topsort(node adj[],int n)  

{  

  

    int i;  

    node *p;  

    memset(indegree,0,sizeof(indegree));  

    for(i=1;i<=n;i++)  

    {  

  

        p=adj[i].next;  

        while(p!=NULL)  

        {  

            indegree[p->adjvex]++;  

            p=p->next;  

        }  

    }  

    for(i=1;i<=n;i++)  

    {  

  

        if(indegree[i]==0)  

            mystack.push(i);  

    }  

    int count=0;  

    while(mystack.size()!=0)  

    {  

  

        i=mystack.top();  

        mystack.pop();  

        cout<<i<<' ';  

        count++;  

        for(p=adj[i].next;p!=NULL;p=p->next)  

        {  

            int k=p->adjvex;  

            indegree[k]--;  

            if(indegree[k]==0)  

                mystack.push(k);  

        }  

    }  

    cout<<endl;  

    if(count<n)cout<<"有回路"<<endl;  

}  

  

int main()  

{  

    int n;  

    int m;  

    cout<<"请输入顶点数及边数:";  

    cin>>n>>m;  

    Create(adj,n,m);  

    cout<<"输入的邻接表为:"<<endl;  

    print(n);  

    cout<<"拓扑排序结果为:"<<endl;  

    topsort(adj,n);  

    system("pause");  

    return 0;  

}