乘法逆元

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

 

                   

 

它的推导过程如下，设，那么

 

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

       

 

再把和替换掉，最终得到

 

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

 

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

解释一下，因为i=M/i，但是整数间的除法默认是整除的，所以实际上t*i=M-k,所以一式成立。