洛谷 P3941 入阵曲

题目：

https://www.luogu.org/problemnew/show/3941

题意：给定一个n*m矩阵，求这个矩阵内有多少个子矩阵的和是k的倍数
n,m<=400,k<=10^6

题解

一开始的想法是枚举子矩阵，复杂度是n^4，能过60分

正解是脑洞？？
考虑一行的情况，sum数组维护前缀和
对于区间[l,r] 区间和=sum[r]-sum[l-1]
(sum[r]-sum[l-1])%k=0;
sum[r]%k-sum[l-1]%k=0
sum[r]%k=sum[l-1]%k

那么枚举到r，1 ~ r-1有多少个sum对k取模的余数和sum[r]对k取模的余数相等，就有多少以r结尾的子区间满足题意
显然1 ~ r-1有多少个sum对k取模的余数和sum[r]对k取模的余数相等，也是可以用设置前缀和数组cnt维护的

这样我们就能O(n)的处理出一行的答案

枚举矩阵的上下边界，将多行压成一行，像上述处理出答案
复杂度n^3

细节：
要维护前缀和数组cnt，cnt的范围是0~k-1，在每次枚举上下边界时，cnt都要清空，而k的取值是很大的，直接枚举到k会tle
实际上，即使sum的模数都不同，cnt数组中也最多只有m个数字不为0
所以清空cnt的时候，枚举m，而不是枚举k

代码

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int N=400+50;const int K=1000000+6;long long sum[N][N],a[N][N],cnt[K],s[N];long long n,m,k,ans;int main(){    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=1;j<=m;j++){            scanf("%lld",&a[i][j]);             }    }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=1;j<=m;j++){            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];            sum[i][j]%=k;        //  printf("%d %d = %d\n",i,j,sum[i][j]);        }           }    for(int i=0;i<=n;i++){        for(int j=i+1;j<=n;j++){            cnt[0]=1;            for(int x=1;x<=m;x++){                s[x]=sum[j][x]-sum[i][x];                while(s[x]<0) s[x]+=k;                s[x]%=k;                ans+=cnt[s[x]];                cnt[s[x]]++;            }            for(int x=1;x<=m;x++) cnt[s[x]]=0;//枚举到m        }    }    printf("%lld",ans);    return 0;}