Tarjan算法小结1——SCC

引入

　　许多最短单源路径算法，如Dijkstra，SPFA, floyd, Bellman-Ford等，在运用时只能给出指定点到任意点的最短距离，抑或是给出图中是否有环的信息，并不能准确确定环的个数、包含的点等等。那么我们该如何解决这类问题呢？
　　例题：
　　（来源：https://www.luogu.org/problemnew/show/2863）
　　约翰的N (2 <= N <= 10,000)只奶牛非常兴奋，因为这是舞会之夜！她们穿上礼服和新鞋子，别 上鲜花，她们要表演圆舞.
只有奶牛才能表演这种圆舞.圆舞需要一些绳索和一个圆形的水池.奶牛们围在池边站好， 顺时针顺序由1到N编号.每只奶牛都面对水池，这样她就能看到其他的每一只奶牛.
　　为了跳这种圆舞，她们找了 M (2< M< 50000)条绳索.若干只奶牛的蹄上握着绳索的一端， 绳索沿顺时针方绕过水池，另一端则捆在另一些奶牛身上.这样，一些奶牛就可以牵引另一些奶 牛.有的奶牛可能握有很多绳索，也有的奶牛可能一条绳索都没有.
　　对于一只奶牛，比如说贝茜，她的圆舞跳得是否成功，可以这样检验：沿着她牵引的绳索， 找到她牵引的奶牛，再沿着这只奶牛牵引的绳索，又找到一只被牵引的奶牛，如此下去，若最终 能回到贝茜，则她的圆舞跳得成功，因为这一个环上的奶牛可以逆时针牵引而跳起旋转的圆舞. 如果这样的检验无法完成，那她的圆舞是不成功的.
　　如果两只成功跳圆舞的奶牛有绳索相连，那她们可以同属一个组合.
　　给出每一条绳索的描述，请找出，成功跳了圆舞的奶牛有多少个组合？
　　输入格式：

Line 1: Two space-separated integers: N and M
Lines 2..M+1: Each line contains two space-separated integers A and B that describe a rope from cow A to cow B in the clockwise direction.

　　输出格式：

Line 1: A single line with a single integer that is the number of groups successfully dancing the Round Dance.（成功跳了圆舞的奶牛的组数）

　　分析：显然此题目标明确，考察求有向图中环的个数。
　　知识预备：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
　　Tarjan算法可以在O(N+M)的时间复杂度下找出该图强连通分量的个数及成员。它是一种基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
　　因此我们需要如下变量：
　　

const int N=10005;//最大奶牛数struct sd{    int node;//当前节点    vector <int> next;//下一个连接到的节点};sd data[N];int low[N];//栈中最早的与自己在同一环中的位置int dfn[N];//时间戳，表示dfs时的顺序 bool vis[N];int color[N];//染色结果（染色即将同一强连通分量标记为同一号码）bool gone[N]; //表示某节点是否在栈中int dye[N];//统计每种颜色的个数int dfnnum=0,col=0;//col表示染色的种类，dfnnum为遍历的顺序 stack <int> mystack;//博主喜欢STL，当然手写栈也是可以的

工作原理

　　考虑dfs过程中两种可能遇到的环状的情况：
　　一.平行联通路：

　　此时dfs至点5（栈中元素1，2，3，4，5）——>回溯至点2（栈中元素1，2）——>搜索至点4（栈中元素1,2)——>点4不在当前遍历栈中——>2和4是两个独立的强连通分量。（单独一个点也要算一个强连通分量）
　　二.环状联通路
　　
　　
　　此时dfs至点5（栈中元素1，2，3，4，5）——>回溯至点4（栈中元素1，2，3，4）——>搜索至点2（栈中元素1，2，3，4）——>点2在当前遍历栈中——2和4是一个强连通分量中的元素——>继续搜索点2，发现无其他可走路径——>退栈直至再次到达点2，将其间所有元素标记为一个颜色。
　　
　　理解了这两点，整个算法的核心也就不难理解了。
　　

inline void tarjan(int p){    gone[p]=true;//入栈    dfnnum++;    dfn[p]=dfnnum;    low[p]=dfn[p];    vis[p]=true;    mystack.push(p);    for(register int i=data[p].next.size()-1;i>=0;i--)    {        int tar=data[p].next[i];        if(dfn[tar]==0)//未访问过的节点         {            tarjan(tar);//继续向下搜索            low[p]=min(low[tar],low[p]);            //此步骤是在找到环后将low值改为根节点low值方便统计数量        }        else if(vis[tar])//栈中有此点，找到环         {            low[p]=min(low[p],dfn[tar])        }    }    if(dfn[p]==low[p])//回溯涂色，将整个强连通分量涂成一种颜色     //dfn[p]==low[p]说明当前节点为子树根节点，递归过程后所有在该强连通    //分量内的点都已入栈    {        vis[p]=false;        col++;        color[p]=col;        while(mystack.top()!=p)//退栈时标记颜色        {            color[mystack.top()]=col;            vis[mystack.top()]=false;//别忘了改回来            mystack.pop();        }         mystack.pop();//根节点也应该弹出，应注意    }}

下面贴上main函数：

int main(){    int cow, rope,a,b;    memset(gone,false,sizeof(gone));    memset(dye,false,sizeof(dye));    memset(vis,false,sizeof(vis));    memset(dfn,false,sizeof(dfn));    scanf("%d%d",&cow,&rope);    for(int i=1;i<=rope;i++)    {        scanf("%d%d",&a,&b);        data[a].next.push_back(b);    }    for(int i=1;i<=cow;i++)//为了确保没有“离群的牛”每头牛都尝试搜一遍     {        if(!gone[i])        {            tarjan(i);        }    }    int ans=0;    for(int i=1;i<=cow;i++)//确定颜色数量     {        if(dye[color[i]]==0)        {            dye[color[i]]++;            continue;        }        if(dye[color[i]]==1)        {            dye[color[i]]++;            ans++;        }        else dye[color[i]]++;    }    printf("%d",ans);    return 0;} 

　　※博主个人认为Tarjan算法较为抽象，推荐大家在纸上模拟推演几遍出栈入栈搜索的操作，才可能熟练准确运用此算法。
　　小结1到此结束，下期的小结2我们将会探讨Tarjan算法的缩环为点的操作。