树链剖分详解+模板

树链剖分是解决在树上进行插点问线，插线问点等一系列树上的问题

假如现在给你一棵树，然后没两条边之间有一条权值，有一些操作，1：x---y之间的最大权值是多少，2：改变x---y之间的权值

当前这样的操作有很多，如果直接用暴力的方法的话肯定不行，那么就要想一个好的方法，我们可以想一下能不能借助线段树解决，能不能想一种方法对树上的边进行编号，然后就变成区间了。那么我们就可以在线段树上进行操作了，树链剖分就是这样的一个算法。

当然编号不是简单的随便编号，如果我们进行随便的编号，然后建立一个线段树，如果要更新一个边的权值，是log2（n）的复杂度，而查找的话，我们要枚举x--y的之间的所有的边，假如我们随便以一个点为根节点进行编号，最大的长度是树的直径，这个值本身是比较大的，而在线段树上查找任意一个区间的复杂度也是log2（n），这样查找一次的时间复杂度比直接暴力还要高，所以很明显是不行的。

那么就要想想办法了，我们能不能把x--y之间的一些边一块儿查找，这就是关于树链剖分的重边和轻边，

重边：某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边，由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边

重边是可以放在一块儿更新的，而有

性质：从根到某一点的路径上轻边、重边的个数都不大于logn。

所以这样查找的时间复杂度相当于log2（n）

其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。

 重儿子：son[v]为u的子节点中节点数最大的，那么v就是u的重儿子。
    轻儿子：v的其它子节点。
    重边：点v与其重儿子的连边。
    轻边：点v与其轻儿子的连边。
    重链：由重边连成的路径。
    轻链：轻边。

    剖分后的树有如下性质：
    性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
    性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

int top[MAXN];//top[v]表示v所在的重链的顶端节点int fa[MAXN]; //父亲节点int deep[MAXN];//深度int num[MAXN];//num[v]表示以v为根的子树的节点数int p[MAXN];//p[v]表示v与其父亲节点的连边在线段树中的位置int fp[MAXN];//和p数组相反int son[MAXN];//重儿子

int find(int u,int v)//查询u->v边的最大值{int f1 = top[u], f2 = top[v];int tmp = 0;while(f1 != f2){if(deep[f1] < deep[f2]){swap(f1,f2);swap(u,v);}tmp = max(tmp,query(1,p[f1],p[u]));u = fa[f1]; f1 = top[u];//往上走}//在同一条重边就跳出循环if(u == v)return tmp;//如果已经相遇就结束查找了if(deep[u] > deep[v]) swap(u,v);//看看上面的图中假设查找u=2,v=11的情况，此时p[son[u]]=9,p[v]=11,所以p[son[u]]此时是

左区间return max(tmp,query(1,p[son[u]],p[v]));}

基于边权，修改单条边权，查询路径边权最大值（SPOJ QTREE 树链剖分+线段树 ）

const int MAXN = 10010;struct Edge{int to,next;}edge[MAXN*2];int head[MAXN],tot;int top[MAXN];//top[v]表示v所在的重链的顶端节点int fa[MAXN]; //父亲节点int deep[MAXN];//深度int num[MAXN];//num[v]表示以v为根的子树的节点数int p[MAXN];//p[v]表示v与其父亲节点的连边在线段树中的位置int fp[MAXN];//和p数组相反int son[MAXN];//重儿子int pos;void init(){tot = 0;memset(head,-1,sizeof(head));pos = 0;memset(son,-1,sizeof(son));}void addedge(int u,int v){edge[tot].to = v;edge[tot].next = head[u];head[u] = tot++;}void dfs1(int u,int pre,int d) //第一遍dfs求出fa,deep,num,son{deep[u] = d;fa[u] = pre;num[u] = 1;for(int i = head[u];i != -1; i = edge[i].next){int v = edge[i].to;if(v != pre){dfs1(v,u,d+1);num[u] += num[v];if(son[u] == -1 || num[v] > num[son[u]])son[u] = v;}}}void getpos(int u,int sp) //第二遍dfs求出top和p{top[u] = sp;p[u] = pos++;fp[p[u]] = u;if(son[u] == -1) return;getpos(son[u],sp);for(int i = head[u] ; i != -1; i = edge[i].next){int v = edge[i].to;if(v != son[u] && v != fa[u])getpos(v,v);}}//线段树struct Node{int l,r;int Max;}segTree[MAXN*3];void build(int i,int l,int r){segTree[i].l = l;segTree[i].r = r;segTree[i].Max = 0;if(l == r)return;int mid = (l+r)/2;build(i<<1,l,mid);build((i<<1)|1,mid+1,r);}void push_up(int i){segTree[i].Max = max(segTree[i<<1].Max,segTree[(i<<1)|1].Max);}void update(int i,int k,int val) // 更新线段树的第k个值为val{if(segTree[i].l == k && segTree[i].r == k){segTree[i].Max = val;return;}int mid = (segTree[i].l + segTree[i].r)/2;if(k <= mid)update(i<<1,k,val);else update((i<<1)|1,k,val);push_up(i);}int query(int i,int l,int r) //查询线段树中[l,r] 的最大值{if(segTree[i].l == l && segTree[i].r == r)return segTree[i].Max;int mid = (segTree[i].l + segTree[i].r)/2;if(r <= mid)return query(i<<1,l,r);else if(l > mid)return query((i<<1)|1,l,r);else return max(query(i<<1,l,mid),query((i<<1)|1,mid+1,r));}int find(int u,int v)//查询u->v边的最大值{int f1 = top[u], f2 = top[v];int tmp = 0;while(f1 != f2){if(deep[f1] < deep[f2]){swap(f1,f2);swap(u,v);}tmp = max(tmp,query(1,p[f1],p[u]));u = fa[f1]; f1 = top[u];}if(u == v)return tmp;if(deep[u] > deep[v]) swap(u,v);return max(tmp,query(1,p[son[u]],p[v]));}int e[MAXN][3];int main(){ //freopen("in.txt","r",stdin); //freopen("out.txt","w",stdout); int T;int n;scanf("%d",&T);while(T--){init();scanf("%d",&n);for(int i = 0;i < n-1;i++){scanf("%d%d%d",&e[i][0],&e[i][1],&e[i][2]);addedge(e[i][0],e[i][1]);addedge(e[i][1],e[i][0]);}dfs1(1,0,0);getpos(1,1);build(1,0,pos-1);for(int i = 0;i < n-1; i++){if(deep[e[i][0]] > deep[e[i][1]])swap(e[i][0],e[i][1]);update(1,p[e[i][1]],e[i][2]);}char op[10];int u,v;while(scanf("%s",op) == 1){if(op[0] == 'D')break;scanf("%d%d",&u,&v);if(op[0] == 'Q')printf("%d\n",find(u,v));//查询u->v路径上边权的最大值else update(1,p[e[u-1][1]],v);//修改第u条边的长度为v}} return 0;}