背包问讲解（转）

大一刚接触背包问题的时候就觉得绕。那时候真的是一点代码基础都没有强行去理解。每次都是以失败告终，一直到大二都还不会写背包问题。
后来某次模拟赛之后碰到了背包问题，觉得这个还是挺简单的，终于是下定决心准备搞一搞这个东西了。
有了一定的基础理解起来就比以前容易多了。
首先，先分清楚这三个背包问题。
1.01背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品只有一件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。
2.完全背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有无限多件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。
3.多重背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有有限件num[i]，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。
啊，说真的大一的我听了这些已经趴下去睡觉了。
但是真的比对起来会发现，其实这些问题都是很类似的，三种背包就是三个约束条件不一样而已。
那么针对不同的约束条件，开始解决问题。
（一）关于01背包
呐，为什么叫它01背包呢，因为装进去就是1，不装进去就是0.所以针对每个物品就两种状态，装，不装（请允许我用这么老套的开篇，相信听过很多次背包讲解的人，大多都是这个开篇的）所以咯，我这个背包啊，只要有足够大的空间，这个物品是有可能被装进去的咯。
所以有状态转移方程
dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )
然后二维数组的代码写法分分钟就出来了，反正都是跟前一个状态去转移，也没有什么写法上的限制。

#include<bits/stdc++.h>  using namespace std;  int dp[1005][1005];  int weight[1005];  int value[1005];  int main()  {      int n,m;      cin>>m>>n;      memset(dp,0,sizeof(dp));//数组清空,其实同时就把边界给做了清理      for(int i=1; i<=n; i++)          cin>>weight[i]>>value[i];      //从1开始有讲究的因为涉及到dp[i-1][j],从0开始会越界      for(int i=1; i<=n; i++)//判断每个物品能否放进      {          for(int j=0; j<=m; j++)//对每个状态进行判断          //这边两重for都可以倒着写，只是需要处理最边界的情况，滚动数组不一样          {              if(j>=weight[i])//能放进                  dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);              else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放进          }      }      cout<<dp[n][m]<<endl;      return 0;  }  

然后啊，我们来仔细分析分析就会发现，这个数组开销还是很大的，因为是二维的，万一哪个数据一大，分分钟内存超限，因此有了下边的解法
传说中的—————滚动数组！！！
啊？什么是滚动数组。
说白了二维数组只是把每个物品都跑一遍，然后到最后一个物品的时候输出答案，那么过程值只是计算的时候用一次，我没必要存下来。所以用一个数组去滚动存储，然后用后一个状态的值去覆盖前面一个状态。然后形象的叫它：滚动数组（ma！dan！一点都不形象，我理解了好久）
好吧，假装很形象。
那么问题来了，怎么样用一维的去代替二维的工作，或者说怎么去思考。这是一个难点。
那么我们想，遍历物品的那个for肯定不能省去，然后里边的for也不能省。。。。那么。就把那个i给他删了吧，好像确实没啥用哦。
然后就出现了这样的代码

or(int i=1; i<=n; i++)     {         for(int j=weight[i]; j<=m; j++)         {             dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);         }     }  

看上去好像很厉害的样子,但是这个绝对是错的，因为第二个for里存在某个dp[j]被改动过，然后再次影响到更大的j。就像我们再对一个数组进行移位操作，一不小心就全部成了一样的数。（别笑，你们以前肯定碰到过|||- -）
额。。回到正题，上边的代码会有重复影响，确实歪打正着的碰上了另一个背包。这个另说，现在附上正确的思路。

#include<bits/stdc++.h>  using namespace std;  int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间省不去时间  int weight[1005];  int value[1005];  int main()  {      int n,m;      cin>>m>>n;      memset(dp,0,sizeof(dp));      for(int i=1; i<=n; i++)          cin>>weight[i]>>value[i];      for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反      {          for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包          {              dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解，一层一层的          }      }      cout<<dp[m]<<endl;      return 0;  }  

其实就是规定从m开始循环，保证了选择这个物品时，肯定不会重复使用状态。
（二）关于完全背包
就像先前讲的，完全背包是每个物品都无限，那么我只要对着一个性价比最高的物品狂选就是了啊。？？
是吗？有瑕疵啊！
反例一批一批的啊，认死了选性价比最高的，不一定是完全填满背包的啊，万一最后一个是刚好填满背包的，而且价格凑起来刚好比全选性价比最高的物品高的情况比比皆是啊。
啊？什么，特判最后一个状态？
你在搞笑吗|||- -，那我再往前推到倒数第二件，第三件咋办。总不能对每个物品都特判吧。
所以正解就是动态规划。状态转移方程如下：
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k*weight[i]<=m
这样看是不是还要多一重for去算k（既放入这个物品的个数）
那么这里二维数组就不如一维的了。
上代码：

#include<bits/stdc++.h>  using namespace std;  int dp[100005];//m  struct Node{      int a,b;  }node[1005];//n  int main(){      int n;      while(~scanf("%d",&n)){          for(int i=0;i<n;i++){              scanf("%d%d",&node[i].a,&node[i].b);          }          int m;          scanf("%d",&m);          memset(dp,0,sizeof(dp));          for(int i=0;i<n;i++){              for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//这样就是完全背包                  dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);              }          }          printf("%d\n",dp[m]);      }      return 0;  }  

特意换了一种写法让整体的代码结构看上去更像背包一点。
其中第二个for中是从小到大遍历的。这样就是要利用这种影响（因为物品不知道取几个呀，能取就减咯，这种影响正好就是这个题目的意思）
（三）关于多重背包
理解了前面两种背包，那么第三种背包理解起来就毫不费力了
首先这种可以把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么！！是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。对不对！！对不对！！
No BB， show me the code！！
哦， 客官，您要的代码：

多重背包重点 注意注释

#include<bits/stdc++.h>  using namespace std;  int dp[1005];  int weight[1005],value[1005],num[1005];  int main()  {      int n,m;      cin>>n>>m;      memset(dp,0,sizeof(dp));      for(int i=1; i<=n; i++)          cin>>weight[i]>>value[i]>>num[i];      for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品          for(int k=0; k<num[i]; k++)//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码              for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码                  dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);      cout<<dp[m]<<endl;      return 0;  }  

那只是一种理解方法，其实正规的应该是这样的
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k<=num[i]（这个跟完全背包差点就一毛一样了啊喂|||- -）
那么还是用滚动数组来写，而且还又优化了下
代码参考：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8563283

#include<bits/stdc++.h>  using namespace std;  const int N = 1005;  int dp[N];  int c[N],w[N],num[N];  int n,m;  void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数  {      for(int i=n; i>=cost; i--)          dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  }  void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数  {      for(int i=cost; i<=n; i++)          dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  }  int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包  {      memset(dp,0,sizeof(dp));      for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品      {          if(num[i]*c[i] > m)              Complete_Pack(c[i],w[i],m);              //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的              //因为是取不光的。那么就用完全背包去套          else          {              int k = 1;              //取得光的话，去遍历每种取法              //这里用到是二进制思想，降低了复杂度              //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品              //这样足够凑出了从0-k个该物品取法              //把复杂度从k变成了logk              //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法              while(k < num[i])              {                  ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);                  num[i] -= k;                  k <<= 1;              }              ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);          }      }      return dp[m];  }  int main()  {      int t;      cin>>t;      while(t--)      {          cin>>m>>n;          for(int i=1; i<=n; i++)              cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];          cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;      }      return 0;  }