Wannafly 模拟赛5 E 思维+数论

题目链接

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参考博客（感谢）

用自己的语言简单总结一下…..加深理解。

题意：
Aria正面临算设课程的考试。
设

F(n)=∏i=1n∏j=1ij=∏i=1ni!

对于给定的n,m（其中n为质数），求F(nm)中质因子n的出现次数，即求一个最大的非负整数e满足ne整除F(nm)。
由于是算设课的考试，答案当然是对109+7取模的。

思路：
首先此题需要基于一个重要的数论知识点：
对于一个数n，所包含的某个因子m的次数是：

int calc(int n,int m){    int ans = 0;    while(n){        ans += n/m;        n = n/m;    }    return ans;}

证明：
令 k=n/m
因为：
n!=1∗2∗3∗...n
试着将因子m提出，则一定有：(C为一个不含因子m的数)
n!=(m∗(2∗m)∗(3∗m)...(k∗m))∗C
    =k!∗mk∗C

所以k一定是最后所求个数的一部分。
另一部分则是k!中所包含因子m的个数。递归处理即可。
证毕。

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记calc(n,m)为n!中所含因子m的个数。
因为n为质数，则只需要单独考虑1−nm中每个数所含因子n个数的和。

ans=∑i=1nmcalc(i,n)

由上面的证明的数论知识，我们易得：
对于i∈[kn,kn+n−1] ，calc(i,n)相同
故我们考虑将1−nm中的所有数每n个分为一组，则一组中所有数对答案的贡献相同。
对于nm则需要特殊考虑，故答案可以化简为：

ans=calc(nm,n)+∑i=1nm−1calc(i,n)

=∑i=0m−1ni+n∗∑i=1nm−1−1calc(i∗n,n)

因为：calc(i∗n,n)=i+calc(i,n)
所以：

ans=nm−1n−1+n∗(∑i=1nm−1−1i+∑i=1nm−1−1calc(i,n))

对于括号里面的第二项，可以视为一个子问题递归处理，即得：

ans=nm−1n−1+12∗(nm(nm−1−1)+nm(nm−2−1)+...+nm(n−1))

=nm−1n−1+12∗nm∗∑i=1m−1(ni−1)

=nm−1n−1+nm2(nm−1n−1−m)

快速幂+逆元即可。

代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 1e9 + 7;ll fast_pow(ll n,ll m){    ll res = 1;    while(m){        if(m&1) res = res*n%mod;        n = n*n%mod;        m >>= 1;    }    return res;}int main(){    ll n,m;    scanf("%lld%lld",&n,&m);    ll res = (fast_pow(n,m)-1)*fast_pow(n-1,mod-2)%mod;    ll ans = (res + (fast_pow(n,m)*fast_pow(2,mod-2)%mod*(res-m)%mod))%mod;    if(ans<0) ans += mod;    printf("%lld\n",ans);    return 0;}