UVA

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-12716

题目大意：求出1<=b<=a<=n的二元组(a,b)，使得gcd(a,b)=a^b

解题思路：因为有^，所以应该先想到^对应的性质，即a^b^a=b，所以a^gcd(a,b)=a^a^b=b，由于gcd(a,b)必定是a的因子，所以只用枚举a的因子，求出相应的b之后检验gcd(a,b)是否与之前的相同。接着进行优化，首先要知道几个结论，假设a>b，1.a-b>=gcd(a,b)
证明：
因为a=t1*gcd(a,b)，b=t2*gcd(a,b)，所以a-b=(t1-t2)*gcd(a,b)>=gcd(a,b)
2.a-b<=a^b
证明：把a和b都先转化成二进制，然后把a中的0与b中的1互换，得到a1，b1，并且a1>=a，b1<=b，并且可以发现a1-b1=a1^b1(这个我不会证明)，所以a1^b1=a^b>=a-b
综上，a-b=a^b=gcd(a,b)
所以在枚举因子时不需要调用函数求gcd(a,b)，直接相减即为gcd(a,b)
但是，做到这里还是会超时，要进行预处理，对于每个二元组中的a，都可以记录a所具有的b的个数，然后一直向上累加，就可以得到小于等于n的总个数，然后直接输出即可

AC代码：

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 30000000 + 5;int ans[MAXN];int main(){    for (int i = 1;i < MAXN;i++)    {        for (int j = i;j < MAXN;j += i)        {            int b = i^j;            if (b <= j&&b >= 1 && j - b == i)                ans[j]++;        }    }    for (int i = 2;i < MAXN;i++)        ans[i] += ans[i - 1];    int t;scanf("%d", &t);    for(int p=1;p<=t;p++)    {        int n;scanf("%d", &n);        printf("Case %d: %d\n", p, ans[n]);    }    return 0;}