回溯法

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前言

今天学习回溯法，然后在网络上找资料。
绝大部分文章都是一个套路。上来就摆概念，一大堆玄之又玄的文字，看得我云山雾绕。
我认为正确的学习思路是：先具体，然后抽象。

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实例

八皇后问题
这是一个以国际象棋为背景的问题：
如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？
为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n =1 或 n ≥ 4 时问题有解。八皇后问题一共有 92 个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解

基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2) y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4) col - row = y-x;（斜向反方向）
遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1. 从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列
2. 如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯
3. 如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

看完8皇后问题的解决过程。我们已经清楚所谓回溯法是怎么回事了。

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以下是8皇后问题的代码实现

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

queenList[0] = 0; queenList[1] = 3; queenList[2] = 1; queenList[3] = 4; queenList = 2;

代码：

[cpp] view plain copy<span style="font-size:12px;">/*  * Copyright (c) leo  * All rights reserved.  * filename: nQueens * summary :  * version : 1.0  * author : leo  * date : 8.12.2011  *问题： *    在n*n (n=1 or n>=4 )的棋盘上放置n个皇后，如果在同一行，同一列，同一对角线上都不存在两个皇后， *    那么这个棋盘格局就是n皇后的一个解。 *要求： *    找出n皇后的一组解即可，打印出放置满足n皇后条件的棋子位置 */  #include<stdio.h>  #include<math.h>  #include<stdlib.h>  #include<conio.h>  #define N 8 //皇后数=棋盘行列数  int a[N]; //a[i]为第i行皇后所在列  void show() //图形化输出  {      int i;      int p,q ;      int b[N][N]={0};      static t=1;      printf("第%d个解为: ",t++);      for(i=0;i<N;i++)      {          b[i][a[i]]=1;          printf("(%d,%d) ",i,a[i]);      }      printf("\n");      for(p=0;p<N;p++)      {          for(q=0;q<N;q++)          {              if(b[p][q]==1)                  printf("●");              else                  printf("○");          }          printf("\n");      }  }  int check(int n) //检查位置是否合法，满足条件返回1，否则返回0  {      int i;      for(i=0;i<n;i++)      {          if(a[i]==a[n]||fabs(n-i)==fabs(a[i]-a[n])) //at the same column or diagonal (对角线)              return 0;      }      return 1;  }  void put(int n) //主体部分，在第n行放置第n个皇后  {      int i;      if(n==N)          return ;      for(i=0;i<N;i++)      {          a[n]=i;          if(check(n)) //位置合法          {              if(n==N-1) //皇后全部放置完毕                  show();              else                  put(n+1);          }      }  }  int main ()  {      put(0);      return 0;  }</span>  

概念定义

清楚回溯法是怎么一回事之后，再来看概念才能“言之有物”，落到实处

1、概念
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

 许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

   若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。   而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：
（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

        首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架
（1）问题框架

  设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。 （2）非递归回溯框架

  1: int a[n],i;   2: 初始化数组a[];   3: i = 1;   4: while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头   5: {   6:     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点   7:     {      8:           搜索到一个解，输出；   9:     }  10:     else                                                   // 处理第i个元素  11:     {   12:           a[i]第一个可能的值；  13:           while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)  14:           {  15:               a[i]下一个可能的值；  16:           }  17:           if(a[i]在搜索空间内)  18:          {  19:               标识占用的资源；  20:               i = i+1;                              // 扩展下一个结点  21:          }  22:          else   23:         {  24:               清理所占的状态空间；            // 回溯  25:               i = i –1;   26:          }  27: }

（3）递归的算法框架

     回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

1: int a[n];   2: try(int i)   3: {   4:     if(i>n)   5:        输出结果;   6:      else   7:     {   8:        for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径   9:        {  10:            if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件  11:              {  12:                 a[i] = j;  13:               ...                         // 其他操作  14:                 try(i+1);  15:               回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;  16:               }  17:          }  18:      }  19: }