burnside引理与Polya定理计数法

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我们将一个集合到它自身的一个一一映射称为一个置换

对于集合[1,2,3,4]

(13223441)

就是一个置换，把1换成3,2换成4,3换成2,4换成1

我们也可以将其写成循环节的乘积的形式
因为1到3,3到4,4到1这是一个循环节
2自己构成一个循环节
(1,3,4)(2)

以一个例子来引入burnside引理

这是百科上的图片

其中一个状态就是集合里的一个元素

定义置换群为置换的集合

通过置换群中的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类

burnside引理就是等价类的个数等于每种置换长度为1的循环节个数之和除以置换的种类数

设这个置换群为G，c1(ak)表示在置换ak中长度为1的循环节个数
即等价类的个数l=1|G|[c1(a1)+c2(a2)+⋯+c1(ag)]

好吧我并不会证。。

如何用它来解决问题？
回到上面的例子，共有16个状态，集合大小为16

置换有4种，不动、顺时针90度、转180度、逆时针90度
需要求等价类的个数

列出来并写成循环节的形式
不动：a1=(1)(2)…(16)
逆时针转90度 ：a2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10) (11 12)(13 14 15 16)
顺时针转90度 ：a3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)
转180度：a4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12) (13 15)(14 16)

c1(a1)=16,c1(a2)=2,c1(a3)=2,c1(a4)=4
总的等价类个数就是(16+2+2+4)/4=6种

下面介绍Polya定理
如果我们需要用m种颜色对n个点染色，染色并且经过置换本质不同的染色方案数（例如对正方体染色）

理论上可以用burnside引理求解，此处介绍更加方便的Polya定理

设C(ak)表示置换ak中循环节数
染色方案l=1|G|[C(a1)+C(a2)+⋯+C(ag)]