Burnside引理与Polya定理
来源:互联网 发布:淘宝的ip地址怎么看 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 11:24
1.置换。
大概学过抽象代数的同学都知道这个概念吧。
置换简单来说就是对元素进行重排列,如下图所示。置换是
再比如,将正方形绕其中心逆时针旋转90度,可以看成是正方形四个顶点的一个置换。关于置换、置换群的具体理论,可以学一下抽象代数。
(1)置换可以分解成若干循环,方法为:连边
(2)如果一个状态经过置换
(3)题目中常常出现“本质不同的方案数”,一般是指等价类的数目,题目定义一个等价关系,满足等价关系的元素属于同一等价类。等价关系通常是一个置换集合
那么,置换构成的群就是置换群,就是交换排列顺序而已。
2.
对于一个置换
百度百科的定义:
设
举个例子:
一正方形分成
对于每种格子我们都有两种选择,所以会有一下
但是对于这16种方案可以归一下类:
Θ不动:a1=(1)(2)…(16)
Θ逆时针转90度 :a2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10) (11 12)(13 14 15 16)
Θ顺时针转90度 :a3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)
Θ转180度:a4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12) (13 15)(14 16)
由
例题:
POJ 2154
PE 281
利用
3.
假设一个置换有
∑|F|i=0mki|F|
其中
还是这个例子吧。
Θ不动:a1=(1)(2)(3)(4)
Θ旋转90度 :a2=(1 2 3 4)
Θ旋转180度 :a3=(1 3)(2 4)
Θ旋转270度:a4=(1 4 3 2)
比如,“逆时针旋转180度”,这个置换写成循环的乘积就是(1,3)(2,4),即1和3互变,2和4互变,不难发现,1和3的颜色必须相同,2和4的颜色也必须相同,而1-3和2-4的颜色互不相干。
由
可以看
例题:
POJ 1286
除此之外还有很多例题的,不详细列出来了。
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