搜索与回溯

概论

搜索与回溯算法，就像是在迷宫里不断寻找正确前进路径的方式。

搜索与回溯也是信息学竞赛中常会有的算法（algorithm）。于是，诸位作为新生代的大佬，哪里能不好好学习一下搜索回溯算法呐？！！！

这里讲的是深度搜索策略（dfs）；

dfs就是一条路走到黑，不撞南墙不回头！！！
就类似迷宫问题： 进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进，如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。
递归回溯法算法框架[一]

int Search(int k){　for (i=1;i<=算符种数;i++)　　if (满足条件)　　   {　　　　保存结果　　　　if (到目的地) 输出解;　　　           else Search(k+1);　　　　恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}　 　  }}

递归回溯法算法框架[二]

int Search(int k){　  if  (到目的地) 输出解;　  else　　  for (i=1;i<=算符种数;i++)　　　 if  (满足条件) 　　　{　　　　保存结果;　　　    Search(k+1);　　　　恢复：保存结果之前的状态{回溯一步}　　　}}

以上是两个框架，就是搜索回溯算法的框架，看不懂吗？没关系，结合着它一起看看题目和代码。

例题：

例题一

设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列（r<=n），试列出所有的排列。
输入：一行，n和r。
输出：所有的排列，每种占一行。
输入样例：

3 3

输出样例：

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 16

我们分析一下这个题哈：首先，你要从1开始搜，搜啊搜，搜啊搜，当1的情况全部搜完事时，再从2开始搜········
以下是参考程序：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<iomanip>//库文件名 using namespace std;int num=0,a[10001]={0},n,r;//先定义一下全局变量 ，b数组是bool类型、用于判断，以防止搜重 bool b[100001]={0};int search(int);int print();//以上是函数声明 int main(){    cin>>n>>r;    //取到n，r得值     search(1);    //开始搜索，从"1"开始     cout<<num<<endl;}int search(int k){    int i;    for(i=1;i<=n;i++)//n个数，从一到n都搜索一遍，for循环内的是搜索以ni为开头的数 （定义ni是第i个数）       if(!b[i]){        a[k]=i;        //自己手动模拟，你就明白了         b[i]=1;        //防止搜重         if(k==r) print();          else search(k+1);         //没到目的地，那就继续搜         b[i]=0;        //回溯，很关键，特别关键，超超级关键（重要的词说三遍；       }}int print()//这是一个输出含数 {    num++;    //看输出了多少个排列     for(int i=1;i<=r;i++)       cout<<setw(3)<<a[i];       //setw（3）是以空三个格形式输出     cout<<endl;}

这里是这个程序运行情况

注意：搜索与回溯这一方面的算法，是需要大量的模拟 的；
模拟模拟模拟，特别重要哦！！！！！

例题二：

任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。
输入：n
输出：n这个数的拆分方式，并输出总共有多少种拆分方式。
输入样例：

7

输出样例：

7=1+1+1+1+1+1+17=1+1+1+1+1+27=1+1+1+1+37=1+1+1+2+27=1+1+1+47=1+1+2+37=1+1+57=1+2+2+27=1+2+47=1+3+37=1+67=2+2+37=2+57=3+4total=14

以下为参考程序;

#include<iostream>#include<fstream>int a[10001]={1},n,total;using namespace std;ifstream fin ("in.in");ofstream fout ("out.out");int print(int t){    //这是一个输出函数     fout<<n<<"=";    for(int i=1;i<=t-1;i++) fout<<a[i]<<"+";    fout<<a[t]<<endl;    total++;    }int search(int s,int t){    int i;    for(i=a[t-1];i<=s;i++){        if(i<n){            a[t]=i;            s-=i;            if(s==0) print(t);            //如果到达目的地的话，就输出             else search(s,t+1);            //如果没到目的地的话，就在搜索下一条路。         s+=i;        //回溯阶段，很重要很重要很重要         }    }}int main(){    fin>>n;    search(n,1);    //搜索     fout<<total;}

这里是程序运行结果，用文件流方式写的

这两个的例题是很经典的，一定要自已模拟一下，手动模拟！！！！

八皇后问题：

要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）

放置第ｉ个(行)皇后的算法为：int search(i)；　{　　   int j;　　　for (第i个皇后的位置j=1;j<=8;j++ )      //在本行的8列中去试　　　if (本行本列允许放置皇后)　　　　{　　　　　放置第i个皇后；                  对放置皇后的位置进行标记；　　　　　if (i==8) 输出                                 //已经放完个皇后　　　　　　  else search(i+1)；                //放置第i+1个皇后　　　　　对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；　　　　}　}

显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／ 斜线上的行列值之和相同；如果同在＼ 斜线上的行列值之差相同；从下图可验证：

考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组Ａ[1..8]表示皇后的放置：第ｉ行皇后放在第ｊ列，用Ａ[i]＝j来表示，即下标是行数，内容是列数。例如：A[3]=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组ｂ[1..8]控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组ｃ[1..16]、ｄ[-7..7]控制同一对角线上只能有一个皇后。
如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I和J分别表示两个皇后的行号}
下面放代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstdlib>#include<iomanip>using namespace std;bool d[100]={0},b[100]={0},c[100]={0};int sum=0,a[100];int search(int);int print();int main(){   search(1);                                                          //从第1个皇后开始放置}int search(int i){  int j;  for (j=1;j<=8;j++)                                              //每个皇后都有8位置(列)可以试放　    if ((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+7]))                   //寻找放置皇后的位置      //由于C++不能操作负数组，因此考虑加7      {                                                                  //放置皇后,建立相应标志值      a[i]=j;                                                          //摆放皇后      b[j]=1;                                                         //宣布占领第j列      c[i+j]=1;                                                      //占领两个对角线      d[i-j+7]=1;      if (i==8) print();                                           //８个皇后都放置好,输出        else search(i+1);                                      //继续递归放置下一个皇后      b[j]=0;                                                        //递归返回即为回溯一步,当前皇后退出      c[i+j]=0;      d[i-j+7]=0;      }}int print(){    int i;    sum++;                                                        //方案数累加1    cout<<"sum="<<sum<<endl;    for (i=1;i<=8;i++)                                         //输出一种方案      cout<<setw(4)<<a[i];    cout<<endl; }