回溯法搜索总结与常见问题

最近在看回溯搜索算法，觉得值得总结一下。

回溯法简单说就是，为了搜到合适的解做出尝试，尝试失败时就退回到之前状态，然后尝试其他的可能性。这类算法套路比较固定。总的思想我概括为：搜到就输出，搜不到就返回，符合条件就搜。

流程用文字描述，大概分为两类情况：

1.当搜索过程每前进一步，会遇到多种情况时：这类情况的代码形式上类似图的深度遍历

void search(int k){if (达到目标) 输出解else    for each(所有可能情况)if (满足递归条件){保存状态search(k+1)恢复之前的状态}}

2.当搜索过程每前进一步，只有两种选择时：这类情况的代码形式上类似二叉树的先根遍历

void search(int k){if (达到目标) 输出解else{if(符合选择1条件){保存状态和数据search(k+1, 参数1）恢复}if(符合选择2条件){保存状态和数据search(k+1, 参数2）恢复}}    }

当然不一定所有问题都严格遵守上面的步骤。比如，有的时候搜索的分支可能并没改变数据（之后有举例），这时保存数据这步是可以没有的。

回溯法的优点在于省内存，搜索过程中产生解空间。由于采用了递归和深度优先的策略，最大耗费空间仅仅和搜索的最大深度有关。

第一个例子，给出n和m，从1到n中挑出m个数，产生所有可能的排列数和组合数，n小于10：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;bool used[10]={false};//数字i是否使用过int num[10];//n,m smaller than 10int id1=0, id2=0;vector<int> num2;bool used2[10]={false};void p(int n, int r, int k){    if(k==0){        id1++;        cout<<id1<<": ";        for(int i=r; i>=1; i--)cout<<num[i];        cout<<"\t";    }else{        for(int i=1; i<=n; i++){            if(!used[i]){                num[k]=i;                used[i]=true;                p(n,r,k-1);                used[i]=false;            }        }    }}void permutation(int n, int r){    p(n,r,r);}void c(int n, int r, int k){    if((int)num2.size()==r){        id2++;        cout<<id2<<": ";        for(int i=0; i<num2.size(); i++)cout<<num2[i];        cout<<"\t";    }else{        for(int i=k; i<=n; i++){//i=k,保证排列结果是由小到大输出            if(!used2[i]){                num2.push_back(i);                used2[i]=true;//save                c(n,r,i+1);//search                used2[i]=false;                num2.pop_back();//go back            }        }    }}void combination(int n, int r){    c(n,r,1);}int main(){    int n,m;    cin>>n>>m;    cout<<"permutation:"<<endl;    permutation(n,m);    cout<<endl;    cout<<"combination"<<endl;    combination(n,m);    return 0;}

当然上面的例子是输出所有的排列和组合。大部分时候我们只是搜索特定的一个结果，或某些结果。因此舍弃不必要的解是很重要的。这就涉及限界，或者说剪枝。如果搜索到某一步时再接着搜肯定没有结果，那么就停止在这个分支的搜索，通常用一个限制条件或外加判断函数来判断。

第二个例子，给定一个集合，知道它有n个元素，希望从n个数中取出若干个使得它们的和为c。第一行输入n和c，第二行输入集合内的数。把可行的数字组合（1组就行）输出，如果没有符合条件的组合，就输出NO SOLUTION。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>using namespace std;int n,c;int a[9000];int r=0, mi[9000],s[9000], l[9000];//s=sum, mi=min, l=answer listvoid work(int x, int z){    if(z==c){        for(int i=1; i<=r; i++){            cout<<l[i]<<" ";            if(i==r) cout<<endl;        }        exit(0);    }else{//限制条件，如果当前的和加上剩下所有的数超过目标值，且当前的和加上剩下最小的数也不超过目标值则继续搜索        if( x<=n && z+mi[x]<=c && z+s[x]>=c){            if(z+a[x]<=c){//do1, add a[x], when a[x] can be added                r++;                l[r]=a[x];//save                work(x+1,z+a[x]);//do1                r--;//back            }            work(x+1,z);//do2, not to add a[x]        }    }}/*     x增加时有两个选择，将下一个数挑出，或者不挑出，所以有do1和do2两个选择*/int main(){    scanf("%d%d", &n, &c);    for(int i=1; i<=n; i++)        scanf("%d", &a[i]);    mi[n]=s[n]=a[n];    for(int i=n-1; i>=1; i--){        if(a[i]<mi[i+1]) mi[i]=a[i];        else mi[i]=mi[i+1];        s[i]=s[i+1]+a[i];    }    work(1,0);    cout<<"No solution!"<<endl;    return 0;}

有的时候在递归过程中一些结果可能会被重复搜索（即：走了不同的路线，但是到达了相同目的地 -_-|| ），我们还可以建立一个表储存搜索过的结果，如果发现搜过这个结果了，就不要继续递归，直接从表里读取，这样能避免大量的重复递归。这个实现起来相对容易，就不再举例了。