NOIP数论总结

说明：由于博主很菜，所以只总结一些博主知道的和会的，也主要是在NOIP靠前复习一下（突击一下）吧。没有什么顺序，想到啥写啥，还请见谅！

一、组合数、卡特兰数、排列数

1.组合数公式：

C(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * … * (n-m+1)/m! = n!/m!(n-m)!
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)
C(n,m) = C(n,n-m)
C(n,m) = C(n,m-1)*(n-m+1)/m (m>0)
2.卡特兰数

卡特兰数前几项：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429……..
公式1：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)
公式2：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
公式3：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
应用：（几个应用还得多看一下书）
1、有n对括号括号序列的方案数
2、在一个n*n的棋盘上从左下角走到右上角，每次只能向右或向上，且不能越过对角线的路径数
3、n个节点的满二叉树种类（每个节点都有两个子节点或没有）
一道题：P1044 栈

二、gcd、exgcd

1.gcd

int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a;}  

2.exgcd

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  {      if(b==0)      {          x=1;          y=0;          return a;      }      int r=exgcd(b,a%b,x,y);  //（这里的r是a，b的最大公约数）    int t=x;      x=y;      y=t-a/b*y;      return r;  }  

P1082 同余方程

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;int a,b,x,y;void gcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0){ x=1,y=0; return ; }    gcd(b,a%b,y,x);    y-=(a/b)*x;}int main(){    scanf("%d%d",&a,&b);    gcd(a,b,x,y);    printf("%d",(x+b)%b);} 

三、线性筛

欧拉线性筛

const int MAXN=3000001;  int prime[MAXN];//保存素数   bool vis[MAXN];//初始化   int Prime(int n)  {      int cnt=0;      memset(vis,0,sizeof(vis));      for(int i=2;i<n;i++)      {          if(!vis[i])          prime[cnt++]=i;          for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)          {              vis[i*prime[j]]=1;              if(i%prime[j]==0)//关键               break;          }      }      return cnt;//返回小于n的素数的个数   }  

普通筛法

int main(){    n=read(); m=read();tf[1]=true;    for(register int i=2;i*i<=n;i++){        if(tf[i]) continue;        for(register int j=2;j*i<=n;j++) tf[j*i]=true;    }    for(int i=1;i<=m;i++){        int x=read();        if(!tf[x]) printf("Yes\n");        else printf("No\n");    }}

欧拉线性筛求素数同时求phi()

int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    phi[1]=1;    for(register int i=2;i<=n;++i){        if(!mark[i]){            prime[++tot]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(register int j=1;j<=tot;++j){            if(i*prime[j]>n) break;            mark[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0){                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;            }            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);            //prime[j]-1==phi[prime[j]]         }    }    mark[1]=1;    for(register int i=1;i<=m;++i){        scanf("%d",&x);        if(!mark[x]) printf("Yes\n");        else printf("No\n");    }   } 

四、欧拉定理

http://blog.csdn.net/getsum/article/details/53204483
http://blog.csdn.net/qq_36368339/article/details/78462782

五、欧拉函数

http://blog.csdn.net/getsum/article/details/53204483

六、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
n=pr11∗pr22∗…∗prkk
p1＜p2＜…＜pk均为质数,r1,r2,…rk均为正整数

七、费马小定理

a^(p-1)=1（mod p）

八、逆元（费马+快速幂||exgcd）

用扩展欧几里得求逆元

typedef  long long ll;  void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){      if(!b){ d=a; x=1; y=0;}  //d是用来判断有木有逆元    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }  }  ll inverse(ll a,ll n){      ll d,x,y;      extgcd(a,n,d,x,y);      return d==1?(x+n)%n:-1;  }  

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(b==0){ x=1;y=0; return a; }    else{ ll s=exgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x; return s; }}//s返回的是最大公约数int main(){    scanf("%d%d",&n,&p);    for(register int i=1;i<=n;++i){        exgcd(i,p,x,y);        x+=p;        if(x>=p) x-=p;        printf("%lld\n",x);    }    return 0;}

用费马小定理求逆元

在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2)

inline long long mi(long long a,long long b){    long long w=a,s=1;    while(b){        if(b&1) s=(s*w)%p;        w=(w*w)%p;        b>>=1;    }    return s%p;} int main(){    scanf("%d%d",&n,&p);    for(register int i=1;i<=n;++i) {        printf("%lld\n",(mi(i,p-2))%p);        cout<<mi(i,p-2);    }    return 0;}

线性递推求逆元

n=read();p=read();inv[1]=1;puts("1");    for(int i=2;i<=n;i++){        inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;//记住公式就好        printf("%d\n",inv[i]);    }

九、快速幂&&矩阵快速幂

快速幂

inline int mi(int a,int b){    long long w=a,s=1;    for(;b;b>>=1){        if(b&1) s=(s*w)%10007;        w=(w*w)%10007;    }    return s;}

矩阵快速幂

matrix x(matrix a,matrix b) { //矩阵乘法的模板    matrix t;    for(int i=0; i<n; i++)        for(int j=0; j<n; j++) {            t.m[i][j]=0;            for(int k=0; k<n; k++)                t.m[i][j]=(t.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;        }    return t;}matrix fast_m(matrix a,ll k) {    matrix s=a,b=a;k--;    while(k>0) { if(k%2) s=x(b,s); b=x(b,b);  k/=2; }    return s;}

参考博客：
noip 数论总结
NOIP 2016[数论复习]
数论总结
数论总结（二）
noip数论复习总结
夏令营讲课内容整理 Day 6 Part 2.
逆元的几种求法（扩展欧几里得，费马小定理或欧拉定理，特例，打表等）
扩展欧几里德算法详解