暑假NOIP笔记—数论

数论小结

今天上午数论，下午组合数学，and第一天。
上午主要讲了7点
- 取模
- 快速幂
- 快筛素数
- 分解质因数
- 约数个数(和)
- 欧拉函数
- 欧拉定理以及费马小定理

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取模

• 加法 (A+B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C
• 减法 (A-B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C
• 乘法 (A * B) mod C = (A mod C) * (B mod C) mod C

特殊强调的是对于减法取模要通过加减若干个MOD 来使ans在0~MOD-1的范围内。
※ A%B=A-(A/B)*B

取模的应用

Quickpow(快速幂) 用到了二进制拆分的思想，比如说13=（1101）2，那么a^13=a*a^4*a^8，可以利用这种思想来求解 a^b %p 的问题

int Quick_pow(int x,int y){    int ans=1;    x%=MOD;    while(y)    {        if(y%2==1)        {            ans=(ans*x)%MOD;        }        y/=2;        x=(x*x)%MOD;    }    return ans;}

EX：
等比数列和取模
(1+a+a^2+a^3+…+a^b)%p 1<=a, b, p <= 10^9
同样，可以用二进制拆分的方法：

二进制拆解 乘a^x 1 a 1+a a^2 1+a+a^2+a^3 a^4 … … 1+a+a^2+a^3+…+a^（2^k-1） a^(2^k)

把左面看作一个整体，再上右面找到一个相乘，这样就可以得到a+a^2+…a^x的和了，剩下的暴力算就好了。

快筛素数

#include<stdio.h>bool book[50001001];int prime[5000000];int cnt;void pre_init(long long n){    for(int i=2;i<=n;i++)    {        if(book[i]==0)        {            prime[cnt++]=i;        }        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)        {            book[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)            {                break;            }        }    }}

筛素数的算法很重要，时间复杂度计算如下：
筛的次数近似为n * lnln N
所以算法复杂度为O(n loglog N)
在sqrt(N)内，为sqrt(N/(lnN))
用线性筛法同样可以筛欧拉，以及其他的一些积性函数，在后面会有提及。

分解质因数

一个数最多只有一个大于sqrt(P)的质因子。
依次试除1..sqrt(P)即可。
优化：只试除质数
Bettter solution: Pollard’s Rho (据说没什么用)

约数个数（和）

如果有一个sqrt(N)…N内的约数，则必有一在1…sqrt(N)内的约数与之对应
枚举1…sqrt(N)内的所有数即可

long long f(long long n){    long long ret=1;    for(long long i=2;i*i<=n;i++)    {        long long cnt=0;        while(n%i==0)        {            cnt++;            n/=i;        }        ret*=(cnt+1);    }    if(n!=1)    {        ret=ret*2;    }    return ret;}

设d(x)为x的约数个数，求d(1)+d(2)+d(3)+…+d(n)
其实很简单了，for(int i=1;i<=n;i++) sum+=(x/i);
这里的(x/i)表示有这些个数有约数i
在这里引申一个概念 “调和级数”

名称定义：

很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +…
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+…
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。 —— [ 百度百科 ]

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +…+1/n =ln(n+1)+r；
r为一个常数约等于0.5772156649

欧拉函数

主要强调一下 欧拉函数 是一个积性函数 ，
若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)
通常可以用一下方法实现：

long long Euler(long long n){    long long num=n;    for(long long i=2;i*i<=num;i++)    {        if(n%i==0)        {            num=(num/i)*(i-1);            while(n%i==0)            {                n/=i;            }        }    }    if(n>1)    {        num=num/n*(n-1);    }    return num;}

但是，就像之前说过的，我们可以在快筛素数的同时，进行快筛欧拉

void pre_init(ll n){    phi[1]=1;    for(ll i=2;i<=n;i++)    {        if(book[i]==0)        {            prime[cnt++]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(ll j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)        {            book[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            else            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);            }        }    }}

BZOJ2818就是典型的题目，类似的，Visible Lattice Points同样如此。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAXN 1000000typedef long long ll;ll cnt,n;ll prime[MAXN],book[MAXN],phi[MAXN],f[MAXN];void pre_init(ll n){    phi[1]=1;    for(ll i=2;i<=n;i++)    {        if(book[i]==0)        {            prime[cnt++]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(ll j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)        {            book[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            else            {                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);            }        }    }}int main(){    while(~scanf("%lld",&n))    {        pre_init(n);        ll sum=0;        for(ll i=1;i<=n;i++)        {            sum+=phi[i];        }        printf("%lld\n",sum*2+1);    }    return 0;}

同样，也可以用类似的方法筛逆元，需要强调的是 逆元 具有完全积性 也就是说f(ab)=f(a)f(b)且a,b不需要互质。

欧拉定理&费马小定理

略

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Afternoon:

下午的很多知识都是建立在上午的基础上，主要有以下的几方面：
- 欧几里得算法及扩展
- 中国剩余定理
- 组合数取模
- 余数之和
- 高斯消元
- 其它
First，引出一道很有趣的题目【bzoj2721】[Violet 5]樱花
意为 1/x+1/y=1/(n!) [给定n]求解的个数

Solution：

设z=n! => xz+yz=xy => x=yz/(y-z) =>(1+z/(y-z))*z
=>z+(z)^2/(y-z)
所以就转化为了求z的约数个数，也就是n!的约数个数了。

欧几里得算法

欧几里得算法又名“辗转相除法”，还是觉得 辗转相除法 这个 名字更揭示了本质。欧几里得算法 是用于求a,b两个数的最大公约数
Gcd(a,b)=Gcd(b,a mod b)
像其他的算法定理一样，我们不需要知道它是怎么来的 ，会用就好。
如：
4,6 -> 2,4 ==> 2
3,8 -> 2,3 -> 1,2 ==> 1
2,9 -> 1,2 ==> 1

Ex:

欧几里得算法的扩展应用是求不定方程的解 ax+by=d ，显然，当d%( lcm(a,b) )为真时才有解，这是其必要条件。
下面来看 推导过程：
先由特殊到一般，当d=gcd(a,b)时：
ax + by =d => bx + (a - a / b * b)y d =>ay +b(x - a / b*y) =d
这样 就又化成了 ax+by 的形式，只不过x=y ; y=(x - a / b*y)

Sumarry：

已知a,b求接一组p,q，令 pa+qb=Gcd(p,q)[解一定存在]
And,若要求ax+by=c(c不需要特殊),即在每个解上乘上 c/Gcd(p,q)
若(x0,y0)为一组解，则所有解 x=x0+bt ; y=y0-at ,n∈N*

long long Exgcd(long long a,long long b){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        ret=a;    }    else    {        ret=Exgcd(b,a%b);        long long t=x;        x=y;        y=t-a/b*x;    }    return ret;}

中国剩余定理

中国剩余定理又名 孙子定理，中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

了解孙子定理，一定要知道“构造法”，也是求解的重要思想。
证明如下：

a≡b(mod m) 是个很重要的概念，虽说这个很基础，但是必须要强调一下 ，因为如果这个 不十分清晰那么对于后续的做题会造成很大的困扰。
a≡b(mod m) 读作a与b对模m同余 即(a-b)/m为整数
经典题目：VIJOS P1164曹冲养猪

#include<stdio.h>#define max 1000long long a[max+1];long long b[max+1];long long ret;long long x=1,y=0;void Exgcd(long long a,long long b){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;    }    else    {        Exgcd(b,a%b);        long long t=x;        x=y;        y=t-a/b*x;    }}long long remider(long long *a,long long *b,long long ilen){    long long i,n=1;    for(i=0;i<ilen;i++)    {        n*=a[i];    }    for(i=0;i<ilen;i++)    {        long long m=n/a[i];        x=1,y=0;        Exgcd(m,a[i]);        x=(x%a[i]+a[i])%a[i];        ret=(ret+m*b[i]*x%n)%n;    }    return ret;}int main(){    long long ilen;    scanf("%lld",&ilen);    for(int i=0;i<ilen;i++)    {        scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);    }    printf("%lld",remider(a,b,ilen));    return 0;}

组合数取模

组合数取模的应用之一就是所谓的二项式展开系数
（a+b)^n=a^n + a^（n-1）b + a^（n-2） b^2 + a^（n-3）*b^3 + …….+a^3 b^（n-3） + a^2 b^（n-2）+ a b^（n-1） + b^n

组合数取模的其它知识之前也有转载过相关文章，自我觉得还是相当好的，在这里就 不赘述了
http://blog.csdn.net/z_mendez/article/details/46593827

余数之和

明确 A%B=A-(A/B)*B,就好了 ~

#include<stdio.h>#include<string.h>#define MANX 1000000000typedef long long ll;ll n,k;ll min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}int main(){    scanf("%lld%lld",&n,&k);    ll ans=n*k,sub=0;    for(ll i=1;i<=min(n,k);i++)    {        ll a=k/i,b=k/a;        b=min(b,n);        sub+=a*(i+b)*(b-i+1)/2;        i=b;    }    printf("%lld\n",ans-sub);    return 0;}

其它

高斯消元

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题目List：
- BZOJ2721 樱花
- BZOJ 2818 GCD
- BZOJ 2142 礼物
- BZOJ1406 密码箱
- BZOJ 1257 余数之和
- BZOJ2186 沙拉公主的困惑
- NOIP 2009 Hankson的趣味题