【NOIP2017模拟赛】思维+转化+图论 徒然Children（好题）

题目描述

全世界都在谈恋爱，只有我深爱着学习。——前言。
2333身为单身狗却意外喜欢的吃狗粮的yuki坚信着：“自古红蓝出cp，黑白天生是夫妻，最是销魂红绿配，天然金紫成双对，生死相随红与黄，白紫一逢春满堂，千里缘牵白与绿，红黑生来为相聚。”的cp配对原则，却被徒然children中绿黄的御宅的春天组（山根隆夫×栗原千代）莫名戳中萌点。可见死宅真是一个有前途的职业。在本季末尾，一群cp们正在举行足球赛，想要偷懒的可爱死宅山根隆夫却听到了更可爱的栗原千代的加油声，他感到很无奈，想要在操场上选择一些不需要跑动的地方偷懒，又不想太过明显影响在妹子心中的形象。操场是一个n*n方格矩阵，每一个格子上有一个非负整数A(i,j)表示山根隆夫停在这里会在栗原千代心中减多少分，他希望在操场中选若干格子歇息，B(i,j)=1表示格子(i,j)被选中，B(i,j)=0表示格子(i,j)未被选中。矩阵B必须满足三个条件山根隆夫才不会被红牌下场。
B(1,2)+B(1,3)+...B(1,n)=1
B(1,n)+B(2,n)+...B(n−1,n)=1
ΣB(k,i)(1<=k<=n)=ΣB(i,j)(1<=j<=n)(1<i<n)
身为死宅的你，一定也有着和超级可爱的死宅山根隆夫一样的关于妹子的理想。那么请你帮帮他，找出一种方案使他在妹子心中减的分最少。

输入

第一行一个整数n表示操场的大小，n行n列的格子。接下来n行每行n各整数表示A(i,j)。

输出

一行一个整数表示山根隆夫在可爱的栗原千代心中最少减了多少分。

样例输入

5
7 2 3 6 1
5 2 6 9 4
4 2 1 5 3
4 6 9 8 5
1 4 4 5 2

样例输出

1
对于前10%的数据：n<=10
对于前20%的数据：n<=100
对于前50%的数据：n<=1000
对于100%的数据：n<=2000

题解

初看题面，你会觉得这道题很难，然后去思考各种各样的数学方法，或者一些诡异的乱搞的方法。
其实，如果你仔细看这道题，它其实是一道图论模板（惊叹ing）。
如果把A看作是邻接矩阵，这时再看看B的条件就会发现一些鬼畜的事情。首先，B(1,2)+B(1,3)+...B(1,n)=1，就是说必须选中且仅选中一条从1到一个非1节点的边。第二，B(1,n)+B(2,n)+...B(n−1,n)=1，就是说必须选中且仅选中一个从非n节点到n的边。接下来第三个要求，ΣB(k,i)=ΣB(i,j)，就是说2~n−1的节点必须选了一条入边就要选一条出边。这样一来，我们会发现有两种可能满足这些条件。第一种：一条从1−>n的最短路；第二种：一个包含1的最小环+一个包含n的最小环。这样一来，我们只需要写一个SPFA，就可以同时解决两个问题，从而得出最小值。
仍然是没有注释的代码，抱歉啦~

#include<queue>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define N 2005#define ll long longint n,vis[N];ll A[N][N],dis[N],ans,rnd=1ll<<60;queue<int>q;ll getll(){    ll p=0;char c=getchar();    while(c<'0'||c>'9')        c=getchar();    while(c>='0'&&c<='9')        p=p*10+c-'0',c=getchar();    return p;}void putll(ll a){    if(a<0)putchar('-'),a=-a;    if(a>9)putll(a/10);    putchar(a%10+'0');}void SPFA(int s){    for(int i=0;i<=n;i++)        dis[i]=1ll<<60;    dis[s]=0;    q.push(s);    while(!q.empty())    {        int x=q.front();q.pop();        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(dis[x]+A[x][i]<dis[i])            {                dis[i]=dis[x]+A[x][i];                if(!vis[i])                {                    vis[i]=1;                    q.push(i);                }            }        }        vis[x]=0;    }}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            A[i][j]=getll();    SPFA(1);    ans=dis[n];    for(int i=2;i<=n;i++)        rnd=min(rnd,dis[i]+A[i][1]);    SPFA(n);    for(int i=1;i<n;i++)        ans=min(ans,rnd+dis[i]+A[i][n]);    putll(ans);    putchar(10);}