【算法分析与设计】【第十周】96. Unique Binary Search Trees

题目来源：96：https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/

动态规划基础训练2。

96. Unique Binary Search Trees

题目大意

给定一个数n，求出节点数为n的二叉搜索树的个数。

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

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思路

卡特兰数

啥是卡特兰数？在做这题之前我也是懵懵哒。

卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

卡特兰数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)。
这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。

上面的解释比较官方， wuyuegb2312介绍的很好，可以了解一下。

特殊情况分析

• 如果集合为空（n=0），只有一种BST，即空树，
  UniqueTrees[0] =1

• 如果集合仅有一个元素（n=1），只有一种BST，即为单个节点
  UniqueTrees[1] = 1

• 集合有三个元素（n=3），可以发现BST的取值方式如下：
  UniqueTrees[2] = UniqueTrees[0] * UniqueTrees[1] (1为根的情况)+
  UniqueTrees[1] * UniqueTrees[0] (2为根的情况)

• 再看一集合有三个元素（n=3），可以发现BST的取值方式如下：
  UniqueTrees[3] = UniqueTrees[0]*UniqueTrees[2] (1为根的情况)+
  UniqueTrees[1]*UniqueTrees[1] (2为根的情况)+
  UniqueTrees[2]*UniqueTrees[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出UniqueTrees的递推公式为

UniqueTrees[i]=∑UniqueTrees[0...k]∗[i−1−k],k取值范围0<=k<=(i−1)

状态转移式

dp[i]+=dp[j]∗dp[i−j−1];

据说，这正是卡特兰数的一种定义方式，是一个典型的动态规划的定义方式（根据其实条件和递推式求解结果）。所以思路也很明确了，维护量UniqueTrees[i]表示含有i个结点的二叉查找树的数量。根据上述递推式依次求出1到n的的结果即可。

当然，上述总结非常玄幻。不查资料几乎很难自己总结出来。
秋雨解决这个问题很有一套，可以看看。

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解题代码

一旦状态转移式出来，问题就很简单了。
代码简明清晰，用二重循环实现。

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        int dp[n+1] = {0};        dp[0] = dp[1] = 1;        for (int i = 2; i <= n; i++) {            for (int j = 0; j < i; j++) {                dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1];            }        }        return dp[n];    }};

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复杂度

动态规划时间复杂度：O(n^2)；空间复杂度: O(n)。

用卡特兰数的通项公式来求解，时间复杂度就可以降低到O(n)。

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