《棋盘上的“马步”探究》（二）

0. 问题背景 （本课题为九年级组探究课题）

在中国象棋中，马的走法是一直一斜，棋谚“马走日字”（本质上说，“马走日字”是走1×2 矩形的对角线）。从棋盘上任意一点出发，马能跳到任意的一个点。

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2. 在图中半幅棋盘上，马从点A出发，能否跳遍半个棋盘，且每个点恰都只走到一次？ 

分析与解答

如下图所示，我们将矩阵划分为黑白间隔的样式。马每走一步，必然会跳到一个异色的方格，即从黑色的跳到白色的，或是相反。因此，马跳过的任何一条路径，必然是由黑白间隔的方格组成的序列。如果从任意白色方格出发，且途中每个方格只能经过一次，则整条线路上白色方格的数量必须等于黑色方格的数量，或者比黑色方格的数量大1。而半幅棋盘，总共有45个方格，其中黑色方格为23个，白色方格为22个。因此，从任意白色方格出发，包括A点，不重复地遍历整个棋盘是不可能的。

3. 半幅棋盘上，从哪些点出发，能跳遍半个棋盘，且每个点都只跳一次？

分析与解答

如上题解答中的分析，从任何白色方格出发，都不可能不重复地遍历整个棋盘。而从任意黑色方格出发，遍历整个棋盘，每个方格只走到一次，是可能的。接下来，我们要证明这不仅是可能的，而且确实有解。如下图所示，棋盘中所有的黑色方格一共有23块，因为对称性，如果以其中用字母标出的这8块方格为起点，可以分别构造出一条哈密尔顿路径，则所有黑色方格都可以作为路径的起点了。

 

下图给出了以这8个黑色方格为起点的行走方案。所以，以图中任何一个黑色方格为起点，都是存在一条哈密尔顿路径的；而以任何一个白色方格为起点，是不可能做到的。

研究与拓展

上述分析的解法，证明了在5×9的矩阵中，从任何一个黑色格子出发，都存在一条哈密尔顿路径。现在我做一个扩展：基于5×9的哈密尔顿路径，可以扩展到无穷平面空间。也就是说，在无穷大的平面中，都存在一个哈密尔顿路径。

如上面的图6和图7所示，我们构造一条路径，从一个5×9的顶点位置（左下角）可以走到这个矩阵的上、下和右方的同样一个5×9矩阵的顶点位置。这样如果我们把一个平面空间抽象为无数个5×9 的矩阵平铺而成的话，那么就可以从一个顶点出发，采用“螺旋形”的走法，去遍历所有的5×9矩阵。如下图所示，如此走法，就可以构造出在无穷大的平面空间内的一条哈密尔顿路径，即遍历所有的方格，每个方格只走一次。

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…… 后续问题探究 

上文证明了从包括 A 点在所有白色点出发，都是不可能遍历整个半幅棋盘的。而从任何一个黑色方格出发，都存在一条哈密尔顿路径。同时，我还将这个遍历问题扩展到了无穷平面上。

现在问题来了，我们知道 “ 马 ” 的跳跃是 “ 日 ” 字型的，但如果不是 “ 日 ” 字型的，而是 “ 目 ” 字的呢？上述结论还成立吗？如果不是半幅棋盘，而是整幅棋盘呢？