二叉树基本数学知识,建立及三种递归遍历

一.基本知识

1. 数学知识

（1）在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点

（2）深度为k的二叉树最多有2^(k)-1 个节点

（3）对任意二叉树，若叶子节点数为n0,度（节点拥有子树的个数）为2的节点数为n2，则 n0==n2+1

（4）对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照对满二叉树节点连续编号的方式，对所有节点从1开始顺序编号，则对于任意序号为i的节点有：

  如果 i==1 ,则没有双亲节点。i>1 ,则双亲节点（是同一个节点）的序号为“i/2”  如果 2i <= n,则节点i的左孩子节点序号为 2i ，否则就没有左孩子  如果 2i + 1 <= n,则节点i的右孩子节点序号为 2i+1 ，否则就没有右孩子

以上知识可以自己画图进行验证，也可以自己进行数学论证（反正我是不会的了~_~）

二. 二叉树的创建（二叉链表）

节点定义：

typedef struct Node {    char data ;    struct Node * Lchild ;    struct Node * Rchild ;} BiNode ;

1.先序创建：

（1）第一种方法

BiNode *CreteBitree()   //返回根节点{    BiNode *p;    char ch ;    cin >> ch ;    if(ch  == '#')         return NULL;    else {        p= (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));        p->data = ch  ;        p->Lchild=CreteBitree();        p->Rchild=CreteBitree();    }    return p;  //p is root } 

（2）第二种方法

void CreteBitree(BiNode **root)  {    char ch ;    cin >> ch ;    if( ch == '#' )         *root= NULL;    else {        *root = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));        (*root)->data = ch;        CreteBitree(&(*root)->Lchild);        CreteBitree(&(*root)->Rchild);    }}

三.二叉树的遍历

1.递归遍历

void PreOrder(BiNode *root)    //  先序遍历{    if(root)    {        cout << root->data ;        PreOrder(root->Lchild);        PreOrder(root->Rchild);    }}void InOrder(BiNode  *root) //  中序遍历{    if(root)    {        InOrder(root->Lchild);        cout << root->data ;        InOrder(root->Rchild);    }}void PostOrder(BiNode *root) // 后序遍历{    if(root)    {        PostOrder(root->Lchild);        PostOrder(root->Rchild);        cout << root->data ;    }}

完整代码：

#include<iostream>using namespace std;typedef struct Node {    char data ;    struct Node * Lchild ;    struct Node * Rchild ;} BiNode ;void CreteBitree(BiNode **root)  {    char ch ;    cin >> ch ;    if( ch == '#' )         *root= NULL;    else {        *root = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));        (*root)->data = ch;        CreteBitree(&(*root)->Lchild);        CreteBitree(&(*root)->Rchild);    }}/*BiNode * CreteBitree()  {    BiNode *p;    char ch ;    cin >> ch ;    if(ch  == '#')         return NULL;    else {        p= (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));        p->data = ch  ;        p->Lchild=CreteBitree();        p->Rchild=CreteBitree();    }    return p; //p is root }*/void PreOrder(BiNode *root)    //  先序遍历{    if(root)    {        cout << root->data ;        PreOrder(root->Lchild);        PreOrder(root->Rchild);    }}void InOrder(BiNode  *root) //  中序遍历{    if(root)    {        InOrder(root->Lchild);        cout << root->data ;        InOrder(root->Rchild);    }}void PostOrder(BiNode *root) // 后序遍历{    if(root)    {        PostOrder(root->Lchild);        PostOrder(root->Rchild);        cout << root->data ;    }}int main(void){    BiNode *root;    cout  << "Please input the  string :" << endl ;    CreteBitree(&root);//    root = CreteBitree();    cout<< "递归！！！先序遍历：" << endl ;    PreOrder(root);    cout << endl;    cout<< "中序遍历：" << endl ;    InOrder(root);    cout << endl;    cout<< "后序遍历：" << endl ;    PostOrder(root);    cout << endl ;    return 0;}

所创建的树的形状：

运行结果：

可以看到结果是正确的！！！

备注：以上的的代码均假设输入了正确的字符，没有进行错误处理。

下一篇将诉说二叉树的非递归遍历。