FFT算法解析

问题描述

两个n次多项式相乘，其时间复杂度为O(n2),通过FFT来减小其问题的复杂度。

分析过程

1. FFT的基本思路是：我知道一个多项式表达式可以根据其表达式算出结果，同理我们也可以根据其结果算出表达式。
2. 对于A，B两个n次多项式，一共所有又2n+1个参数需要求解，我们至少需要2n+1个表达式。
   FFT基本步骤：
3. 选择：选择至少2n+1个点。
4. 计算：分别计算出A(x0),A(x1),......,A(x2n+1)和B(x0),B(x1),......,B(x2n+1),再通过C(xk)=A(xk)B(xk)算出对应的C值。
5. 通过这些多项式等式求解C相应的系数。
   通过对上面的分析:可以发现第4步的时间复杂度为O(n2)，所以得想办法减少其时间复杂度。所以我们对第4步的计算采取分而治之的策略。如下图所示：
   
   原本需要两个O(n)的时间复杂度，现在一个就可以了。我们要如何构造x值，使得计算复杂度变为nlogn。

数学准备

1. 一个复数可以表示成z=a+bi（这是笛卡尔的坐标表示），变形可以得到z=r(cosθ+isinθ)=reiθ（欧拉公式），所以一个复数可以表示成(r,θ)。
2. 复数相乘(r1,θ1)∗(r2,θ2)=(r1r2,θ1+θ2)。
3. 任何一个多项式表达式F(x)=F1(x2)+xF2(x2)
4. 复数的倒数等于复数的负数。

第4步FFT分析

我们选取r=1，分布如下的点进行计算。

左边16点的计算；每一条直线的两个点互为相反数，同时他们的平方一样，(1,θ)∗(1,θ)=(1,θ+π)∗(1,θ+π)=(1,2θ)。又因为数学准备中第3条性质，所以两个值的计算，可以转化成一个值的计算。从左图变为右图的计算，我们可以发现右图也可以按照上述方法进行化简求解。如此递归下去，直到只要一个点计算(1,0)，深度为logn,而每层的计算复杂度不超过O(n)，所以总时间复杂度为O(nlogn)，通过这样的方法我们就可以求出A,B的所有值，然后就可以计算出C。

第5步FFT分析。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢C0C1Cj⋯Cn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜111⋮11wwj⋮w(n−1)1w2w2j⋮w2(n−1)⋯⋯⋮⋱⋯1wnwj(n−1)⋮w(n−1)(n−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0a1aj⋯an⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

现在已经知道了C和M(w)，那么a=M(w)−1∗C; 求M(w)−1的常规方法也要O(n2)，但是M(w)−1=1n∗M(w−1),所以可以得到a=1n∗M(w−1)∗C;由于数学准备中的第4条性质，所以w的取值整体不变，这个不就又可以看出a=C(x),x的取值是w的范围。所以这里再使用一次FFT，不就可以得出a了。所以总的复杂度就变成了nlogn。

伪代码

C++代码