机器学习之牛顿法

泰勒公式

首先看泰勒公式，对于函数，如果函数平滑且某点存在各阶导数，则可以用一个多项式来描述该点邻域的近似值。公式如下：

牛顿法

牛顿法一般用来求解方程的根和求解极值。

数值优化算法除了梯度下降法外还有比较常用的一种方法是牛顿法。对于非线性方程，可以用牛顿迭代法进行求解，它收敛速度快。

基本思想是：对于非线性函数f(x)，根据泰勒公式得到x附近某个点xk展开的多项式可用来近似函数f(x)的值，该多项式对应的函数为F(x)，求得F(x)的极小值作为新的迭代点，然后继续在新的迭代点泰勒公式展开，直到求得的极小值满足一定的精度。

原理

假设函数f(x)二次可微，则二次泰勒展开，

f(x)≈g(x)=f(xk)+f′(xk)(x−xk)+12f′′(xk)(x−xk)2

g(x)多项式则为f(x)的近似，求函数f(x)极值则可以转化为求导函数为0，对g(x)求导并令其为0，

f′(xk)+f′′(xk)(x−xk)=0

得到，

x=xk−f′(xk)f′′(xk)

即得到迭代公式，

xk+1=xk−f′(xk)f′′(xk)

新的点xk+1不断逼近极值，直到一次导数小于某误差。

迭代步骤

1. 确定初始点x0，确定误差大小e。
2. 计算f′(xk)，若它的绝对值小于e则停止迭代，xk即为极值点。
3. 计算f′′(xk)，并根据迭代公式求得xk+1。
4. 跳转到步骤2。

实现代码

def h(x):    return x*x*x + 2*x*x +3*x + 4def h1(x):    return 3*x*x + 4*x + 3def h2(x):    return 6*x + 4xk = 0k = 1y = 0e = 0.0001times = 10000while k < times:    y = h(xk)    a = h1(xk)    if abs(a) <= e:        break    b = h2(xk)    xk -= a/b    k += +1print("k = ", k)print("x = ", xk)print("y = ", y)

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