斐波那契数列的各种算法实现

斐波那契数列，但凡学过编程的童鞋们应该都懂，背景就不介绍了（就是大兔子生小兔子的故事），无论是面试还是实际的运用，常见的一个思路就是先用最先基本的办法实现，然后根据实际要求，一步步改进，优化算法效率。今天就以斐波那契数列这个大家都很熟悉的为例来小小感受一下。

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1. Version 1  
2.   
3. long Fibonacci(int n)   
4. {   
5.   if (n == 0)   
6.       return 0;   
7.   else if (n == 1)   
8.       return 1;   
9.   else if (n > 1)   
10.        return Fibonacci (n - 1) + Fibonacci (n - 2);   
11.   else   
12.        return -1;   
13. }  

这是最基本的递归思路，大家的第一个斐波那契数列应该都是写成这样的，但是不知道大家有没有测试过它的性能如何，不测不知道，一测吓一跳，N=1000,500,100,50都是黑窗口半天跳不出数据，看CPU是100%（我的电脑是25%，但是因为我的电脑是4核的，大家懂的），最后N=45得到的结果是145秒。 性能为什么会这么低呢？以N=5为例子，该程序的执行过程如下图所示，可以想象，N到一定的数目（其实还是很小的数目，比如45.。。。）就会有很多次的递归调

用

 

那么，自然的想法是，有什么办法可以减少递归的次数呢？再观察上图，可以看出，有重复的递归调用。比如F(3)就计算过两次，一个解决的方法就是记录下来已经得到结果的F（n），避免重复多次计算。 Version 2  long tempResult[10001]={0}; 

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1. long Fibonacci2(int n)   
2. {   
3.   if (n == 0)   
4.      return 0;   
5.   else if (n == 1)   
6.     return 1;   
7.   else if (n > 1)   
8.   {   
9.   
10.     if(tempResult[n] != 0)   
11.       return tempResult[n];   
12.     else   
13.     {   
14.           tempResult[n] = Fibonacci2 (n - 1) + Fibonacci2 (n - 2);   
15.           return tempResult[n];   
16.      }   
17.    }   
18. }   

这次优化之后，效率明显提高，N=1000时，运行时间仍趋近于0秒，但是当N=5000时出现了栈溢出的情况。再来分析，栈溢出，那么栈当中有什么呢？调用信息，变量。我们version2的改进，是将version1的调用树砍掉了一半，所以，要真正解决这个问题，还是要放弃递归算法。大家应该了解，常见的改变递归算法的方式是将它变成循环。实际上，递归是从大往小分解问题，循环则是反方向算法。

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1. long Fibonacci3(int n)   
2. {   
3.   long * temp = new long[n + 1];   
4.   
5.   temp[0] = 0;   
6.   
7.   if (n > 0)   
8.      temp[1] = 1;   
9.   
10.    for(int i = 2; i <= n; ++i)   
11.   {   
12.      temp[i] = temp[i - 1] + temp[i - 2];   
13.   }   
14.   
15.   long result = temp[n];   
16.   
17.   delete[] temp;   
18.   
19.   return result;   
20. }  

现在，当N=1000000的时候，时间仍然小于1秒了。 当然，问题还没有结束，虽然version3看上去已经是一个效率很好的算法了。前面的解决方式都是自然的从算法角度来考虑，但是，数学的力量是伟大的。version3的复杂度是O（n），有没有对数级的算法，或者更好的，常量时间算法呢？ 回归到高中数学，发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)是一个数列的通项公式，经过化简，我们可以得到它的递推公式，可以一步得出结果，为O(1)的时间复杂度。但是由于最后的递推公式中含有无理数，所以不能保证结果的精度。 还有没有别的解法呢？有没有对数时间的解法？要对数时间，就要使用分治二分策略。有这个方向，但是没有想出来。当然肯定有牛人想出来的，大家感兴趣的给个链接看看http://hi.baidu.com/houtangcaicai/blog/item/aa40e31a6160cc71dab4bdfd.html。