算法_01_Manacher

问题

求一个字符串最大的回文子串长度
例如：abc12321de，
最大回文子串：12321
返回5

小概念：

• 子串（连续）
• 子数组（连续）
• 子序列（可以连续）

笨办法：

回文分为奇回文和偶回文
奇回文：121
偶回文：1221
针对奇回文，可以从每个位置开始往左右两边扩，即可找到最大回文子串
那偶回文呢？
往里面填充特殊字符，方法：
a121b ——> #a#1#2#1#b#
找到2所在位置，长度7/2=3，即最大回文子串长度为3
a1221b——> #a#1#2#2#1#b#
找到 中间那个#所在位置，两边扩，最大长度9/2=4,即最大回文子串长度为4

注：填充的特殊字符可以是任意的字符，数组中存在的字符也可以，因为他永远是和自己比较的，不会影响计算结果。

总结下：

笨办法就是往里面填充特殊字符后，每个字符都不断去往左右两边扩，找到最长的回文子串，那么如何分析时间复杂度呢？假设，针对这样一个字符串#1#1#1#1#1#1#1#1#每个位置的字符都要扩到边界去，那么1+2+3+…+n/2+(n/2-1)+...+2+1 = O(n^2)说明时间复杂度为 O(n^2)

1. Manacher

可以将时间复杂度将为 O(n)

首先，有几个概念：
回文范围，回文直径，回文半径
最右回文边界

#1#2#1#用 R 记录最右回文边界用 C 记录第一次取得 R 时的位置

假设已经知道了目前的最右回文边界 R，其所对应的位置为 C，与之相对应的左边界为 L，每个位置的最右回文边界 R 都记录在一个数组pArr[]中。然后我们目前在位置 i 上，有以下两大类，四小类种情况：

• i位置上的字符在最有回文边界 R的外面（右边），那么直接暴力扩
• i 位置在R 左边，假设以 C 为中心，与 i 相对应的位置 i’，那么 i’的最右回文必然已经知道了，那么可以根据 i’的最大回文子串的范围和 L 的关系来看:
  
  • i’的最大回文子串范围在 L 内，那么不用扩，i 位置的最大回文子串长度必然等于 i’的最大回文子串长度
  • i’的最大回文子串范围有一部分在 L 之外，那么也不用扩，i位置的最大回文子串长度等于R-i
  • 刚好压线，此时才需要往左右两边开始扩，从哪里开始扩呢，从 R 位置后面开始。

最后取出数组pArr中最大值

max = Math.max(max, pArr[i]);

那为何又有最有一行呢？

return max - 1;

首先，假设最后答案是 x，填充特殊字符后，最大回文直径为 d=(2*x+1)，最大回文半径为r=(d+1)/2=x+1
pArr中记录的就是最大回文半径，所以最后答案x=r-1.

最后附上我上课时的草稿笔记