趣学算法系列-贪心算法

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第二章 贪心算法

一个贪心算法总是做出当前最好的选择，也就是说，它期望通过局部最优选择
从而得到全局最优的解决方案。
—《算法导论》
- 贪心算法求解两个重要的特性
（1）贪心选择 每一步都作出当前的最佳(何为最佳，策略不同，情况不同)选择 仅依赖于之前作出的选择
（2）最优子结构 问题的最优解包含其子问题的最优解
- 贪心算法秘籍
（1）贪心策略 选择当前看上去最好的一个方案 如最大的 最值钱的 最重的
（2）局部最优解 根据贪心策略，一步一步地得到局部最优解
（3）全局最优解 所有的局部最优解合成为原来问题的一个最优解
- 如何定义最优子结构
        分解问题模型 缩小问题的规模
        最优解子问题的分解结构和堆叠方式
        分解结构：每一步都在前一步的基础上选择当前最好的解(钱币找零问题)
        堆叠结构：分解成相对独立的几个子问题，最后进行合并(某种公式计算法则)
- 贪心算法的缺陷
         贪婪法每一步选择完之后，局部最优解就确定
        不再进行回溯，之前选择不再修改，直到算法结束
        贪心只有极少情况可以得到最优解
         通常得到的是近似最优解，但是简单高效
        省去了为找最优解可能需要的穷举操作
- 贪心算法的典型应用
        最优装载问题
        背包问题

• 实际案例分析-最优装载问题

• 问题描述

  有一天，海盗们截获了一艘装满各种各样古董的货船，每一件古董都价值连城，一旦打碎就失去了它
  的价值。虽然海盗船足够大，但载重量为 C，每件古董的重量为 wi，海盗们该如何把尽可能多数量的宝贝
  装上海盗船呢？

• 问题分析

  要求装载的物品的数量尽可能多， 而船的容量是固定的， 那么优先把重量小的物品放进去， 在容量固定的情况下，
  装的物品最多。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，从局部最优达到全局最优，从而产生最优装载问题的最优解。

• 算法设计

  （1）当载重量为定值 c 时， wi 越小时，可装载的古董数量 n 越大。只要依次选择最小重量古董，直到不能再装为止。
  （2）把 n 个古董的重量从小到大（非递减）排序，然后根据贪心策略尽可能多地选出前 i 个古董，直到不能继续装为止，此时达到最优。

• 完美图解

  每个古董的重量如表 2-1所示，海盗船的载重量 c 为 30，那么在不能打碎古董又不超过载重的情况下，怎么装入最多的古董？
  

  （1）因为贪心策略是每次选择重量最小的古董装入海盗船，因此可以按照古董重量非递减排序，排序后如表 2-2 所示。
  

  （ 2）按照贪心策略，每次选择重量最小的古董放入（ tmp 代表古董的重量， ans 代表已装裁的古董个数）。
  i=0，选择排序后的第 1 个，装入重量 tmp=2，不超过载重量 30， ans =1。
  i=1，选择排序后的第 2 个，装入重量 tmp=2+3=5，不超过载重量 30， ans =2。
  i=2，选择排序后的第 3 个，装入重量 tmp=5+4=9，不超过载重量 30， ans =3。
  i=3，选择排序后的第 4 个，装入重量 tmp=9+5=14，不超过载重量 30， ans =4。
  i=4，选择排序后的第 5 个，装入重量 tmp=14+7=21，不超过载重量 30， ans =5。
  i=5，选择排序后的第 6 个，装入重量 tmp=21+10=31，超过载重量 30，算法结束。
  即放入古董的个数为 ans=5 个。

• 伪代码详解
  

  （1）数据结构定义
           double w[N]; //一维数组存储古董的重量
  （2）按重量排序
           sort(w, w+n); //按古董重量升序排序
  （3）按照贪心策略找最优解
          首先用变量 ans 记录已经装载的古董个数， tmp 代表装载到船上的古董的重量，两个变
      量都初始化为 0。然后按照重量从小到大排序，依次检查每个古董， tmp 加上该古董的重量，
      如果小于等于载重量 c，则令 ans ++；否则，退出。

• 实战演练

  //program 2-1#include <iostream>#include <algorithm>const int N = 1000005;using namespace std;double w[N]; //古董的重量数组int main(){double c;int n;cout<<"请输入载重量 c 及古董个数 n： "<<endl;cin>>c>>n;cout<<"请输入每个古董的重量，用空格分开： "<<endl;for(int i=0;i<n;i++){cin>>w[i]; //输入每个物品重量}sort(w,w+n); //按古董重量升序排序double temp=0.0;int ans=0; // tmp 为已装载到船上的古董重量， ans 为已装载的古董个数for(int i=0;i<n;i++){tmp+=w[i];if(tmp<=c)ans ++;elsebreak;}cout<<"能装入的古董最大数量为 Ans=";cout<<ans<<endl;return 0;}

算法时间复杂度分析

（1）时间复杂度：首先需要按古董重量排序，调用 sort 函数，其平均时间复杂度为 O(nlogn)，
输入和贪心策略求解的两个 for 语句时间复杂度均为 O(n)，因此时间复杂度为 O(n + nlog(n))。
（2）空间复杂度：程序中变量 tmp、 ans 等占用了一些辅助空间，这些辅助空间都是常
数阶的，因此空间复杂度为 O(1)。