趣学算法系列-分治法

声明：本系列为趣学算法一书学习总结内容，在此推荐大家看这本算法书籍作为算法入门，
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第三章 分治法

• 分治，顾名思义，分而治之。
  

  大问题分解成一系列规模较小的相同问题，然后逐个解决小问题，即所谓的分而治之。分治法产生的子问题与原始问题相同，只是规模减小。

• 分治法求解的三个条件
  （1）原问题可分解为若干个规模较小的相同子问题。 分治
  （2）子问题相互独立。单个问题的解不会影响到下个问题。
  （3）子问题的解可以合并为原问题的解。 归并
• 分治算法秘籍
  （1）分解：将要解决的问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题，确保各个子问题的解具有相同的子结构
  （2）治理：求解各个子问题。由于各个子问题与原问题形式相同，只是规模较小而，
  而当子问题划分得足够小时，就可以用较简单的方法解决。 问题可以解决，直接解决，否则继续用相同的规则接着分解。
  （3）合并：按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。
  分治法的实现模式可以是递归方式，也可以是非递归方式，

• 应用分治法的目的
  （1）通过分解问题，使无法着手解决的大问题变成容易解决的小问题
  （2）通过减小问题的规模，降低解决问题的复杂度（或计算量）

• 分治法的难点

  分治法的难点是如何将子问题分解，并且将子问题的解合并原问题的解。
  针对不同的问题，通常有不同的分解与合并方式。
  快速排序的分解思路选择一个标兵数，小于的放到左边 大于的放到右边
  最明显的算法思路体现(Python版本)

  def quicksort(array):if len(array) < 2:return array     #基线条件：为空或只包含一个元素的数组是“有序”的else:pivot = array[0]   #递归条件less = [i for i in array[1:] if i <= pivot]   #由所有小于基准值的元素组成的子数组greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] #由所有大于基准值的元素组成的子数组return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)print quicksort([10, 5, 2, 3])

  二分搜索的分解思路是对半缩小规模，处理左边部分，然后处理右边部分
  分治法最难也是最灵活的部分就是对问题的分解和结果的合并
  在数学上，只要是能用数学归纳法证明的问题，一般都可以应用分治法解决

• 递归和分治联系
  问题的分解肯定不是一步到位的，反复调用，层层分解，自然导致了递归的调用。
  分治法得到的子问题和原问题是相同的，当然可以用相同的函数来解决
  区别只在于问题的规模和范围不同，可以通过参数来控制范围
  递归同时也可以该用循环的方式，特别是尾递归(此部分后续会有单独的分析)

• 贪心算法的典型应用
          最优装载问题
          背包问题

• 实际案例分析-最优装载问题

  • 问题情景

    一天晚上，我们在家里看电视，某大型娱乐节目在玩猜数游戏。主持人在女嘉宾的手心上写一个 10 以内的整数，让女嘉宾的老公猜是多少，而女嘉宾只能提示大了，还是小了，并且只有 3 次机会

  • 问题分析

    从问题描述来看，如果是 n 个数，那么最坏的情况要猜 n 次才能成功，其实我们没有必要一个一个地猜，因为这些数是有序的，它是一个二分搜索问题。我们可以使用折半查找的策略，每次和中间的元素比较，如果比中间元素小，则在前半部分查找（假定为升序），如果比中间元素大，则去后半部分查找。

  • 算法设计

    问题描述：给定 n 个元素，这些元素是有序的（假定为升序），从中查找特定元素 x。
    算法思想：将有序序列分成规模大致相等的两部分，然后取中间元素与特定查找元素 x
    进行比较，
    如果 x 等于中间元素，则查找成功，算法终止；
    如果 x 小于中间元素，则在序列的前半部分继续查找，即在序列的前半部分重复分解和治理操作；
    否则，在序列的后半部分继续查找，即在序列的后半部分重复分解和治理操作

    算法设计：用一维数组 S[]存储该有序序列，设变量 low 和 high 表示查找范围的下界和上界， middle 表示查找范围的中间位置， x 为特定的查找元素。

  • 完美图解
    用分治法在有序序列（ 5， 8， 15， 17， 25， 30， 34， 39， 45， 52， 60）中查找元素 17。
    （1）数据结构。用一维数组 S[]存储该有序序列， x=17，如图 3-2 所示
    
    （2）初始化。 low=0， high=10，计算 middle=（low+high）/2=5，如图 3-3 所示。
    
    （3）将 x 与 S[middle]比较。我们在序列的前半部分查找，搜索的范围缩小到子问题 S[0..middle−1]，令 high=middle−1，如图 3-4 所示
    
    （4）计算 middle=（ low+high） /2=2，如图 3-5 所示。
    
    （5）将 x 与 S[middle]比较。 x=17>S[middle]=15，我们在序列的后半围缩小到子问题S[middle+1..low]，令 low=middle+1，如图 3-6 所示
    
    （6）计算 middle=（ low+high） /2=3，如图 3-7 所示
    
    （7）将 x 与 S[middle]比较。 x=17=S[middle]=17，查找成功，算法结束。

• 伪代码详解

int BinarySearch(int n,int s[],int x)    {    int low=0,high=n-1; //low 指向数组的第一个元素， high 指向数组的最后一个元素    while(low<=high) //设置判定条件    {    int middle=(low+high)/2;//计算 middle 值(查找范围的中间值)    if(x==s[middle]) //x 等于 s[middle]，查找成功，算法结束    return middle;    else if(x<s[middle]) //x 小于 s[middle]，则从前半部分查找    high=middle-1;    else //x 大于 s[middle]，则从后半部分查找    low=middle+1;    }    return -1;}

• 实战演练

    //program 3-1    #include <iostream>    #include <cstdlib>    #include <cstdio>    #include <algorithm>    using namespace std;    const int M=10000;    int x,n,i;    int s[M];    int BinarySearch(int n,int s[],int x)    {    int low=0,high=n-1; //low 指向数组的第一个元素， high 指向数组的最后一个元素    while(low<=high)    {    int middle=(low+high)/2; //middle 为查找范围的中间值    if(x==s[middle]) //x 等于查找范围的中间值，算法结束    return middle;    else if(x<s[middle]) //x 小于查找范围的中间元素，则从前半部分查找    high=middle-1;    else //x 大于查找范围的中间元素，则从后半部分查找    low=middle+1;    }    return -1;    }    int main()    {    cout<<"请输入数列中的元素个数 n 为： ";    while(cin>>n)    {    cout<<"请依次输入数列中的元素： ";    for(i=0;i<n;i++)    cin>>s[i];    sort(s,s+n);    cout<<"排序后的数组为： ";    for(i=0;i<n;i++)    {    cout<<s[i]<<" ";    }    cout<<endl;    cout<<"请输入要查找的元素： ";    cin>>x;    i=BinarySearch(n,s,x);    if(i==-1)    cout<<"该数列中没有要查找的元素"<<endl;    else    cout<<"要查找的元素在第"<<i+1<<"位"<<endl;    }    return 0;    }

• 算法时间复杂度分析
  

（1）时间复杂度：首先需要进行排序，调用 sort 函数，进行排序复杂度为 O(nlogn)，如
果数列本身有序，那么这部分不用考虑。二分查找排序O(logn)
（2）空间复杂度：程序中变量占用了一些辅助空间，这些辅助空间都是常数阶的，因此
空间复杂度为 O(1)