【MATH】TJOI2015 BZOJ4001 LGP3978 概率论

这是蒟蒻第一次写数学题的题解，如有错漏，欢迎指出！
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【题面】
为了提高智商,ZJY开始学习概率论。有一天,她想到了这样一个问题：对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?

【输入格式】
输入一个正整数n,表示有根树的结点数

【输出格式】
输出这棵树期望的叶子节点数,要求误差小于1e-9
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根据题意，我们知道其实最后答案的分母就是n个节点的所有本质不同的树的个数，而分子就是这些树的叶子节点和（前者就是卡特兰数）。
我们令fn为卡特兰数的第n项，gn为n个节点时这些树的叶子节点和

那么我们现在要求这两个东西的通项公式，显然我们可以得到两个递推式：

fn=∑i=0n−1fi×fn−i−1

gn= 2×∑i=0n−1(gi×fn−i−1)

然后我们观察一下两个递推式，我们发现它们长得很像，因此f和g是有关的，我们若求出f的通项公式，g也很容易求出来。

于是：令F(x)为fx的生成函数，我们可以得到：

F(x)==x×F2(x)+11±1−4x−−−−−√2x

∵limx→01+1−4x−−−−−√2x=+∞,limx→01−1−4x−−−−−√2x=1

∴要取负号，即F(x)=1−1−4x−−−−−√2x

这个东西的极限很容易求吧，分子有根式，我们将分子有理化即可，在此不再阐述。

那么根据广义二项式定理我们来展开一下 1−4x−−−−−√

1−4x−−−−−√=(1−4x)12=∑i=0+∞×Ci12×(−4x)i

现在我们来考虑这个∑第n项的系数怎么求
我们可以得到：

=====(−4)nCi12(−4)n12(12−1)(12−2)...(12−n+1)1×2×3×...×n(−2)n1×(1−2)(1−4)...×(1−2n+2)1×2×3×...×n−1×3×5×...×(2n−3)1×2×3×...×n×1×2×4×...×2n1×2×3×...×n−(2n)!(2n−1)(n!)2−12n−1Cn2n

因此我们可以得到最后生成函数的结果：

======F(x)1−1−4x−−−−−√2x1+∑+∞i=0×12i−1×Ci2i×xi2x∑+∞i=1×12i−1×Ci2i×xi−12∑i=0+∞(22i+1×Ci+12i+2×xi)∑i=0+∞(12×12i+1×(2i+1)(2i+2)(i+1)2×Ci2i×xi)∑i=0+∞(1i+1×Ci2i×xi)

根据生成函数，最终我们把第n项的系数拿出来：

fn=1n+1Cn2n

这样我们就得到了fn的通项公式！

同理：令G(x)为fx的生成函数，我们可以得到

G(x)===2x×G(x)×F(x)+xx1−4x−−−−−√x(1−4x)12

（以下因为本人太懒，不想打太多，所以请自行推导）
同样我们用F(x)的套路，我们得到：

G(x)=∑i=0+∞Ci−12(−4x)i

同样考虑第n项的系数是什么，易得：

Cn−12(−4)n=Cn2n

所以我们就可以得到：

G(x)===x∑i=0+∞(Ci2i×xi)∑i=0+∞(Ci2i×xi+1)∑i=1+∞(Ci−12(i−1)×xi)

终于我们得到：

gn=Cn−12n−2

终于，我们求到了这两个东西。
所以我们最后可以得到结果：

gnfn====Cn−12n−2⋅(n+1)C2nn(2n−2)!((n−1)!)2⋅(n+1)⋅(n!)2(2n)!n2⋅(n+1)(2n−1)⋅2nn(n+1)2(2n−1)

最后，我们来放一种微积分的方法，由某个IMO大佬教学TAT
我们观察到:

∫G(x)xdx=−121−4x−−−−−√+C=xF(x)

所以只要求F(x)就可以很容易得到G(x)，接着：

∵∴∴即∴==xF(x)=∑i=1+∞Fi−1xiddxxF(x)=11−4x−−−−−√∑i=0+∞(i+1)F(i)xi=G(x)xG(x)=∑i=1+∞i⋅F(i−1)xign=n×fn−1n⋅1n−1+1⋅Cn−12(n−1)Cn2n

完结撒花~