0_1背包问题

有n个物品和购物车的容量，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，购物车容量为W。选若干个物品放入购物车中，使价值最大。重量不能够超过购物车容量。

原问题约数条件和目标函数如下： 

子问题的约数条件和目标函数如下：

我们只需要证明：原问题的解去掉，x1为子问题的最优解。即证明最优子问题结构的性质。

（1）假设已经知道了X={x1,x2,...,xn}是原问题{a1,a2,...,an}的最优解，那么原问题去掉第一个物品就变成子问题{a2,a3,...,an}，则X'={x2,x3,...,xn}是子问题的最优解

（2）通过最优子结构性质建立最优值递归式

可以对每个物品依次检查是否放入或者不放入。

用c[i][j]表示前i件物品放入一个容器为j的购物车可以获得的最大价值。

不放入第i件物品，xi=0，购物车的价值不增加，那么子问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j的背包中”，最大价值为c[i-1][j]。

放入第i件物品，xi=1，装入购物车的价值增加了vi。

以上是问题转化的数学模型。wi是第i件商品的总重量，j是购物车的容量