0_1 背包动态规划详解

1. 问题描述

现在摆在你面前n件物品，已有一个旅行包，一共可以放c kg的东西。

N件物品时这样的：

重量依次是：

W1, W2, W2…….. Wn

价值：

V1, V2, V2…….. Vn

现在让你去选择这些物品，要让它价值最大，但是不能超过包的总重量。

2. 问题的数学定义

摆在面前的n件物品，你是选还是不选，可以用xi (0表示不选这件物品，1表示要选这件物品)来表示：

X1, X2, X2…….. Xn

那么纯数学定义就变成了，在

W1* X1+ W2* X2+…….. Wn* Xn <= c kg 的条件下，

求：V1* X1+ V2* X2+…….. Vn* Xn的最大值？

3. 0-1背包动态规划可行性

假设现在，你选了y₁,y₂,……,y_{n ，} 这是一个最优的解，那么同样的道理，y₂,……,y_n，同样是一个最优的解，这就是动态规划的精髓，如果一个问题，大问题的最优解，可以划分为小问题的最优解，那么，从小问题逐步逼向大问题，就可以求出结果。

4. 动态规划方程

自己现在才慢慢感觉，算法不是要你急于马上就把代码完美的写出来，一点一点分析问题，把模型建立起来才是最重要的，下面就来看看如何建立01背包的动态规划方程。

①先来定义一般情况下的子问题：

大问题是求1至n，现在子问题的规模是 : i，i+1,………n

将其转换为数学定义：

条件是：Wi* Xi+ Wi+1* Xi+1+…….. Wn* Xn <= j kg

目标是求：Vi* Xi+ Vi+1* Xi+1+…….. Vn* Xn 的最大值

m(i，j)表示：背包容量为j，可选择物品为i，i+1,…,n时0_1背包问题的最优值。 （1≤j≤c）

②对于一般情况的动态规划方程

一、边界条件（先我们从第n件物品开始取，当然也可以从第1件开始取）

Vn (如果第n个我选了, j>= Wn)

m(n,j)=

0 (如果第n个我选不了，j< Wn)

二、一般条件

Max{m(i+1,j)，m(i+1,j- Wi) + Vi } (j- Wi>=0，容量够得时候第i个物品可以放或者选择不放)

m(I,j)=

m(i+1,j) (j- Wi<=0，容量不够，那就不放)

注：有的人可能会觉得Max{m(i+1,j)，m(i+1,j- Wi) + Vi }，肯定是m(i+1,j- Wi) + Vi比较大，因为加了一个Vi嘛。其实这里不然，要注意m(i+1,j)与m(i+1,j- Wi)是不相等的。

另外，我们这里是从第n件物品开始选的，所以选i时，（i+1,i+1,……..n）这个子问题是有解得，而且m(i+1,j)，左边的参数是+1，如果我们从第1个开始选就会是 ‘-’ 了。

5. 举例说明

举个例子来看一下，程序应该如何解决下面这个实际的问题。

n=3, c=6

(v₁, v₂, v₃) = (1, 2, 5),

(w₁,w₂,w₃) = (2, 3, 4)

主要是看二维表怎么存数据的：（行表示物品，列表示重量为多少的包）

  0 1 2 3 4 5 6 1               2               3 0 0 0 0 5 5 5

 

  0 1 2 3 4 5 6 1               2 0 0 0 2 5 5 5 3 0 0 0 0 5 5 5

 

  0 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 2 5 5 6 2 0 0 0 2 5 5 5 3 0 0 0 0 5 5 5

请对照公式走一遍。

6. 构造最优解

由于m(1,6) ≠ m(2,6)Þ放物品1，x₁=1, c=c－w₁ = 4

比较m(2,4)与m(3,4)是否相等Þ不放物品2， x₂=0

由于m(3,4) ≠0 Þ放物品3， x₃ = 1

即：最优解为（1，0，1）

７. 代码

/************************************************************/

/*

题目：矩阵连乘问题

学号：2007110307

姓名：郭峰

完成时间：10月28日

*/

/************************************************************/

#include <stdio.h>

int max(int a,int b)

{

if(a > b)

return a;

else

return b;

}

void ZeroOneBag(int *v,int *w,int *x,int c,int n, int m[4][7])

{

int i,j;

for(j = 0; j < c; j++)

{

if (j < w[n]) //从第N件物品开始选，如果放不下

m[n][j]=0;

else //如果放的下

m[n][j]=v[n];

}

for(i = n-1; i >= 1; i--)//控制物品的循环,从i-1到第1件

{

for(j = 0; j < w[i]; j++)//当前这个物品放不下，则最优解为之前的解

m[i][j]=m[i+1][j];

for(j=w[i]; j<=c; j++) //当前这个物品能放进去，但是我可以放进去，也可以不放进去，另外如果我放进去了，

//那么将对之前的最优解有影响

m[i][j]=max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]);

}

for(i = 1; i < n; i ++)//构造最优解

{

if(m[i][c] == m[i+1][c])

x[i] = 0;

else

{

x[i] = 1;

c = c-w[i];

}

}

x[n] = (m[n][c])?1:0;//m[n][c]大于0吗？大于0就是选了

return;

}

void main()

{

int i=0;

int w[4]={0,2,3,4};

int v[4]={0,1,2,5};

int x[4]={0};

int array[4][7]={0};

ZeroOneBag(v,w,x,6,3,array);

printf("The most values:%d/n",array[1][6]);

printf("/nWhich objects is selected?/n");

printf("X1,X2,........XN/n");

for(i = 1; i <= 3; i++)

printf("%d/t",x[i]);

printf("/n/n");

}