[网络流 24 题] 星际转移问题

LOJ 6015

题目描述

由于人类对自然资源的消耗，人们意识到大约在 2300 年之后，地球就不能再居住了。于是在月球上建立了新的绿地，以便在需要时移民。令人意想不到的是，2177 年冬由于未知的原因，地球环境发生了连锁崩溃，人类必须在最短的时间内迁往月球。

现有 n 个太空站位于地球与月球之间，且有 m 艘公共交通太空船在其间来回穿梭。每个太空站可容纳无限多的人，而每艘太空船 i 只可容纳 Hi 个人。每艘太空船将周期性地停靠一系列的太空站，例如：{1,3,4} 表示该太空船将周期性地停靠太空站 134134134 …

每一艘太空船从一个太空站驶往任一太空站耗时均为 1。人们只能在太空船停靠太空站（或月球、地球）时上、下船。

初始时所有人全在地球上，太空船全在初始站。试设计一个算法，找出让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。
输入格式

文件第 1 行有 3个正整数 n（太空站个数）、m（太空船个数）和 k（需要运送的地球上的人的个数）。

接下来的 m行给出太空船的信息。第 i+1 行说明太空船 i。第 1 1 1 个数表示 i 可容纳的人数 Hi，第 2 个数表示 i 一个周期停靠的太空站个数 r，（1≤r≤n+2 1）随后 r 个数是停靠的太空站的编号 {Si1,Si2,…,Sir}，地球用 0 表示，月球用 −1 表示。时刻 0 时，所有太空船都在初始站，然后开始运行。在时刻 1,2,3,… 等正点时刻各艘太空船停靠相应的太空站。人只有在 0,1,2… 等正点时刻才能上下太空船。
输出格式

输出全部人员安全转移所需的时间。如果无解，则输出 0。
样例
样例输入

2 2 1
1 3 0 1 2
1 3 1 2 -1

样例输出

5

数据范围与提示

1≤m≤13
1≤n≤20
1≤k≤50

题解
这道题看起来很麻烦，不能用网路流做，实际上是可以建立出模型用最大流去做的。
这道题的数据范围很小，而且仔细观察可以发现答案有单调性（与魔术球问题类似），这让我们可以用与魔术球问题类似的解法来解这道题。即从小到大枚举答案。
将每个空间站分裂n次，其中n为天数。
因为每个空间站可以容纳无限人，所以在两天之间的同一个空间站连一条容量为INF的边。
模拟出每个飞船的行动过程，在枚举每一天时，将飞船经过的两个点之间连一条容量为Hi的边。
处理地球和月球，只需要从源点向每天中表示地球的边连一条容量为INF的边，从每天中表示月球的点向汇点连一条容量为INF的边就可以了。
这样建图就完成了，每次枚举天数，增加一天便跑一次DINIC，如果最大流>要运输的人数则break并输出答案。要注意的是，每次跑完最大流就会把流量写入到边上，所以要累计记录最大流。

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int INF = 1<<30;const int MAXN = 10000;int n, m, k, s, t, d;int h[MAXN], r[MAXN], stop[MAXN][MAXN], p[MAXN];int tot=1, front[MAXN];int layer[MAXN], cur[MAXN];struct tEdge{    int v, next, c, f;    inline void addEdge(int tmpu, int tmpv, int tmpc)    {        v = tmpv; c = tmpc; f = 0;        next = front[tmpu];         front[tmpu] = tot;        //printf("u:%d, v:%d, c:%d\n", tmpu, v, c);    }} e[MAXN];bool bfs(){    queue <int> q;    memset(layer, 0, sizeof(layer));    layer[s] = 1; q.push(s);    while(!q.empty())    {        int u = q.front(); q.pop();         for(int i=front[u]; i>0; i=e[i].next)        {            int v = e[i].v, maxflow = e[i].c - e[i].f;            if(maxflow <= 0) continue;            if(layer[v] != 0) continue;            layer[v] = layer[u] + 1;            q.push(v);            if(v == t) return true;        }    }    //printf("layer[t]:%d\n", layer[t]);    return false;}int dfs(int u, int curflow){    if(u == t || curflow == 0) return curflow;    int flow = 0;    for(int &i=cur[u]; i>0; i=e[i].next)    {        int v = e[i].v, maxflow = e[i].c - e[i].f;        if(maxflow <= 0) continue;        if(layer[v] != layer[u] + 1) continue;        int nowflow = dfs(v, min(curflow, maxflow));        curflow -= nowflow;        e[i].f += nowflow;        e[i^1].f -= nowflow;        flow += nowflow;        if(curflow == 0) break;    }    return flow;           }int dinic(){    int flow = 0;    while(bfs() == true)    {        for(int i=1; i<=n*d+2; i++) cur[i] = front[i];        flow += dfs(s, INF);        //printf("flow:%d\n", flow);    }    return flow;}int main(){    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k); //E:n-1; M:n    n += 2; d = 40; s = n*d+1; t = n*d+2;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        scanf("%d%d", &h[i], &r[i]);        for(int j=1; j<=r[i]; j++)            scanf("%d", &stop[i][j]), stop[i][j] = (stop[i][j] == 0) ? n-1 : (stop[i][j] == -1) ? n : stop[i][j];        p[i] = 1; //当前停靠点:stop[飞船号][p[i]];    }    int i=2, flow=0;    e[++tot].addEdge(s, n-1, INF); e[++tot].addEdge(n-1, s, 0);    e[++tot].addEdge(n, t, INF); e[++tot].addEdge(t, n, 0);    for(; i<=d; i++) // 枚举每天    {        e[++tot].addEdge(s, n*i-1, INF);        e[++tot].addEdge(n*i-1, s, 0);        e[++tot].addEdge(n*i, t, INF);        e[++tot].addEdge(t, n*i, 0);        for(int j=1; j<=m; j++) // 每个飞船        {            int lastp = p[j];            p[j] = (p[j] + 1 > r[j]) ? 1 : p[j] + 1;            int lastn = stop[j][lastp]+n*(i-2), nown = stop[j][p[j]]+n*(i-1);            e[++tot].addEdge(lastn, nown, h[j]);            e[++tot].addEdge(nown, lastn, 0);        }        for(int j=1; j<=n-2; j++) //每个点        {            int lastn = j+n*(i-2), nown = j+n*(i-1);            e[++tot].addEdge(lastn, nown, INF);            e[++tot].addEdge(nown, lastn, 0);        }        flow += dinic();        if(flow >= k) break;        //printf("flow:%d\n", flow);    }    if(i == 41) printf("0\n");    else printf("%d\n", i-1);    return 0;}