POJ2229---Sumsets（数的划分，dp，透彻地讲解两种递推方法）

题意：用1，2，4，8，16，32，~~~ 2^n 。 去组合一个数。
方法①：
dp[i]：i的划分数。
dp[i]=dp[i-1]                //i为奇数
dp[i]=dp[i-1]+dp[i/2]    //i为偶数
边界控制：dp[1]=1


当i为奇数，很好理解，奇数是1产生的吧，每个划分里面必须都要有1，把这个1减去，就是偶数i-1的划分。把7的每个划分都减去1不就是6的吗？
i=7
1) 1+1+1+1+1+1+1
2) 1+1+1+1+1+2
3) 1+1+1+2+2
4) 1+1+1+4
5) 1+2+2+2
6) 1+2+4


当i为偶数，把所有的划分 分成两组，带1的和不带1的。带1的不又是比原偶数（6）小1的奇数（5）的划分了吗？不带1的划分里面肯定含有2吧？同时除2，不又产生1了吗（也就是说，又是一个完整的划分了）？
i=6
1) 1+1+1+1+1+1
2) 1+1+1+1+2
3) 1+1+2+2
4) 1+1+4
5) 2+2+2    （1+1+1）
6) 2+4        （1+2）不就是3的所有（完整性）划分了吗？

总之，这种递推关系式一定要紧扣定义去递推！！！推出来的子问题不能有重合，更需要是一个完整的子问题！

方法2：
dp[i][j]:只用前i个数，j的组合数

dp[i][j]=∑dp[i-1][j-k*w[i]]   k>=0;
含义：先从前i-1个数里面组合成j-k*w[i].再从第i个里面拿出来k个。有点完全背包的意思。
化简：
原式=∑dp[i-1][j-k*w[i]]                      k>=0;
    =dp[i-1][j]+∑dp[i-1][j-k*w[i]]           k>=1;
    =dp[i-1][j]+∑dp[i-1][j-w[i]-(k-1)*w[i]]  k-1>=0;
    =dp[i-1][j]+dp[i][j-w[i]]

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-w[i]]

边界控制dp[1][j]=1;

可以利用一维数组，但是注意第二个循环要顺序走。

AC代码1：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;long long int dp[1000010];const long long MOD = (int)1e9;int main(){int N; while (cin >> N){dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i++){if (i & 1)dp[i] = dp[i - 1];else dp[i] =( dp[i - 1] + dp[i / 2]) % MOD;}cout << dp[N]<< endl;}system("pause");}

AC代码2：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;long w[21];//2的20次方刚好比最大数据多一点int dp[1000005];const long long MOD = (int)1e9;int main(){int N;w[1] = 1;for (int i = 2; i <= 20; i++)  //20个物品，最后一个为2^19;w[i] = w[i - 1] * 2;while( cin >> N){fill(dp, dp + N + 1, 1);for (int i = 2; i <= 20; i++)for (int j = w[i]; j<=N; j++){dp[j] += dp[j - w[i]];dp[j] %= MOD;}cout << dp[N] << endl;}system("pause");}