组合游戏
来源:互联网 发布:试发型的软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 01:27
在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧.
现在我们就来介绍今天的主角吧。组合游戏的和通常是很复杂的,但是有一种新工具,可以使组合问题变得简单————SG函数和SG定理。
Sprague-Grundy定理(SG定理):
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。不知道Nim游戏的请移步:这里
SG函数:
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集,所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子,每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
SG[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1 时,可以取走1 - f{1}个石子,剩余{0}个,所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时,可以取走2 - f{1}个石子,剩余{1}个,所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时,可以取走3 - f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时,可以取走4- f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时,可以取走5 - f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤,那么计算1~n的SG函数值步骤如下:
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算,也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值,将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤,就完成了 计算1~n 的函数值。
代码实现如下:
//f[N]:可改变当前状态的方式,N为方式的种类,f[N]要在getSG之前先预处理 //SG[]:0~n的SG函数值 //S[]:为x后继状态的集合 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN]; void getSG(int n){ int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); //因为SG[0]始终等于0,所以i从1开始 for(i = 1; i <= n; i++){ //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置 memset(S,0,sizeof(S)); for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记 for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值 SG[i] = j; break; } } }
现在我们来一个实战演练(题目链接):点击打开链接
只要按照上面的思路,解决这个就是分分钟的问题。
代码如下:
#include <iostream>#include<string.h>using namespace std;const int MAXN=1010;const int N=20;//f[N]:可改变当前状态的方式,N为方式的种类,f[N]要在getSG之前先预处理//SG[]:0~n的SG函数值//S[]:为x后继状态的集合int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];void getSG(int n){ int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); //因为SG[0]始终等于0,所以i从1开始 for(i = 1; i <= n; i++){ //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置 memset(S,0,sizeof(S)); for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记 for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值 SG[i] = j; break; } }}int main(){ //cout << "Hello world!" << endl; int n,m,k; f[0]=1; f[1]=1; for(int i=2;i<=16;i++) { f[i]=f[i-1]+f[i-2]; } getSG(1000); for(int i=0;i<100;i++) { cout<<SG[i]<<" "; } cout<<endl; while(cin>>n>>m>>k&&n!=0&&m!=0&&k!=0) { if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) cout<<"Fibo"<<endl; else cout<<"Nacci"<<endl; } return 0;}
大家是不是还没有过瘾,那我就在给大家附上一些组合博弈的题目:
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