复变函数第二章-解析函数

2 复变函数第二章-解析函数

2.1概念

可导，可微。

如果f(z)在z~0~及z~0~的邻域内处处可导，那么称f(z)在z~0~解析。不解析的点称为奇点。

区域内解析⟺区域内可导

但 一点处可导与一点处解析不等价

2.2 函数解析充要条件

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内(一点（x,y）)可导⟺u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微且满足柯西黎曼方程：

∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x

2.3 初等函数

2.3.1 初等函数

ez=ex(cosy+isiny)|ez|=exArg(ez)=y+2kπez1ez2=ez1+z2

2.3.2 对数函数

ew=z,w=u+iv,z=reiθw=Lnz=ln|z|+iArgz主值：lnz=ln|z|+iargz其余可由下式得出：Lnz=lnz+2kπi下面两式不成立：Lnzn=nLnzLnz√n=1nLnz

2.3.3 幂函数

a,b为复数ab=ebLna有无穷个值

2.3.4 三角函数、双曲函数

cosz=eiz+e−iz2sinz=eiz−e−iz2ichz=ez+e−z2shz=ez−e−z2thz=ez−e−zez+e−z(chz)′=shz(shz)′=chzchiy=cosyshiy=ishy

2.3.5 反三角函数、反双曲函数

Arccosz=−iLn(z+z2−1−−−−−√)Arcsinz=−iLn(iz+1−z2−−−−−√)Arctgz=−i2Ln1+iz1−izArshz=Ln(z+z2+1−−−−−√)Archz=Ln(z+z2−1−−−−−√)Arthz=12Ln1+z1−z

2.4 平面场的复势