复变函数第三章-复变函数的积分

3 复变函数的积分

3.1 概念

闭曲线积分∮Cf(z)dz=−∮C−f(z)dz

∮Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy

∮Cf(z)dz=∫βαf[z(t)]z′(t)dt

∮|z−z0|=rdz(z−z0)n+1={2πi,0,n=0n≠0

估值不等式：曲线C长度为L，函数f(z)在C上满足|f(z)|≤M,则

|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML

3.2 柯西-古萨基本定理

积分与路线无关。

柯西-古萨基本定理：如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。

∮Cf(z)dz=0

3.3 复合闭路定理

闭路变形原理：区域内一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要变形过程中不经过不解析的点。

复合闭路定理：C为多连通域D内的一条简单闭曲线，C1,C2... 为C内部的简单闭曲线，塔门互不包含互不相交，以它们为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则

∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Ckf(z)dz

3.4 原函数与不定积分

如果函数在单连通区域内处处解析，那么积分与路线无关。

如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数F(z)必为B内的解析函数。

3.5 柯西积分公式

f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz

如果C是圆周z=z0+Reiθ,那么

f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiθ)dθ

即，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

逆定理：魔勒拉

3.6 解析函数的高阶导数

f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz

3.7 调和函数

如果二元实变函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0

那么称φ(x,y)为D内的调和函数。

D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。