证明：欧几里得算法

假设：

1. r=pmodq，即 p=kq+r（p，q，k，r∈N+ 且 p>q）
2. d 为 p，q，r 任意二者的公约数
3. p，q 与 q，r 的公约数集合分别为 A，B

证明：

∵ p=kq+r
∴ pd=kqd+rd
∵ pd，kqd，rd 至少有两个为整数
∴ pd，kqd，rd 都为整数
∴ 若 d 为 p，q 的公约数，则 d 必为 q，r 的公约数；若 d 为 q，r 的公约数，则 d 必为 p，q 的公约数
∴ p，q 的公约数与 q，r 的公约数完全相同，即 A=B
∴ p，q 的最大公约数与 q，r 的最大公约数相同，即gcd(p，q)=gcd(q，r)