AC自动机

简介

Aho−Corasick automaton，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法。下面我们会举一个具体问题来讲解AC自动机。

前提知识

• KMP算法
  对于问题：
  找出长度l的字符串在长度为m的字符串中出现次数？
  KMP给出了O(l+m)的做法
• Trie
  有n个单词，按照单词的前缀来把n个单词构成一棵树，拥有相同前缀的单词在同一个分支上。
  举个例子：
  对于单词say,her,he,shr,she
  我们构建Trie：
  

问题

给出n个单词p1,p2,p3,......,pn，每个单词的长度为l1,l2,l3,......,ln。再给出一段包含m个字符的文章S，让你找出有多少个单词在文章里出现过。

分析

不妨假设每一个单词的长度是O(l)级别的长度

1. 原始想法
   我们将每一次单词pi与S进行匹配，然后判断这个单词在不在该文章中。此时我们可以看出来这样做的复杂度是O(∑ni=1pi∗S)=O(n∗l∗S)。显然这个复杂度太高了。
2. 优化
   每一次我们都需要将S与单词进行匹配，这个时候我们是可以使用KMP算法来完成。那么我们就可以把整个复杂度降低到O(n∗(l+S))，显然这个复杂度要优化很多。
3. 再优化
   我们是不是真的需要独立地去匹配每一个pi与S？如果我们在所有模式串中找到了一定的联系，当S与其中一个匹配失败时，能够直接（或者说快速地）指向另外一个模式串，那我们将大大降低复杂度。再次利用KMP思想，我们把所有的模式串构建成一棵Trie树，然后KMP中失配时的next指针进行改成映射到树中某一个节点的fail指针。这样再进行匹配，那么总的复杂度就会变成O(n∗l+S)。

AC自动机

AC自动机的算法过程：

1. n个模式串构建Trie 复杂度O(n∗l)
2. 构建fail指针 O(n∗l)
3. 进行匹配 O(n∗l+S)

构建Trie：

我们如上图所示建立一棵Trie，代码如下：

void insert(char* str){    int len = strlen(str);    int u = rt;    FOR(i,0,len){        if(ch[u][str[i]-'a'] == -1){            newnode();            ch[u][str[i]-'a'] = sz;        }        u = ch[u][str[i]-'a'];    }    ++ val[u];}

val数组用来记录该节点是不是结尾节点，即该分支是不是一个单词。很容易看出来，建立过程复杂度为O(n∗l)。

构建fail指针

我们用bfs来构建fail指针，首先了解fail指针干了一件什么事情？fail指针保证了能以O(1)的复杂度找到能与当前分支所构成的字符串匹配的最长公共后缀。
换句话说，如果当前分支为root→a1→a2→a3→......→al，其中fail[al]=bp，那么fail指针指向的分支为root→b1→b2→b3→......→bp，fail指针保证了al−i==bp−i对于任意i<p恒成立。
接下来我们用bfs来构造fail指针。
首先第一层的所有节点的fail指针都指向root，分别进入队列，然后s进入队列，查看子节点a，找到fail[s]的位置，看看ch[fail[s]][a]是否存在，如果存在，直接指向fail[s]下面的a子节点，不然指向fail[fail[s]]，继续查看，直到fail[s]=root仍然匹配失败，就指向root，否则指向ch[fail[s]][a]，即fail[ch[s][a]]=ch[fail[s]][a]。根据这个规则，我们发现a指向root，然后a进队列，查看h子节点，发现root→h则，指向root下的h节点。依次构建，形成了下图中的fail指针图。

以下代码做了做了优化：

void build(){    queue <int> q;    FOR(i,0,26){        if(ch[rt][i] == -1){            ch[rt][i] = rt;        }        else{            fail[ch[rt][i]] = rt;            q.push(ch[rt][i]);        }    }    while(!q.empty()){        int u = q.front();  q.pop();        FOR(i,0,26){            if(ch[u][i] == -1){                ch[u][i] = ch[fail[u]][i];            }            else{                fail[ch[u][i]] = ch[fail[u]][i];                q.push(ch[u][i]);            }        }    }}

很容易看出复杂度为O(n∗l)

匹配

设我们要记录的答案为ans。
以字符串S=yasherhes为例，我们扫描S串。设扫描到了S[i]点，当前Trie所在的节点为u。分为两种情况：

1. ch[u][S[i]]存在，那么继续向下扫描，u变成ch[u][i]，S[i]点变成S[i+1]。
2. ch[u][S[i]]不存在，那么u=fail[u]，继续匹配ch[u][S[i]]，直到：
   2.1 有一个节点匹配，那么u变成ch[u][i],S[i]点变成S[i+1]。
   2.2 如果没有节点匹配，那么u变成root，S[i]点变成S[i+1]。

按照以上规则匹配字符串S，S[0]=y字符失配，此时u=root=0。接下来匹配S[1]=a，继续失配。匹配S[2]=s，此时u=1。继续匹配S[3]=h，此时u=7。继续匹配S[4]=e，此时u=9，发现这个节点是一个单词结尾，即en[9]!=0，那么我们可以修改答案ans=ans+1，修改en[9]=0。继续匹配S[5]=r，失配，那么u=fail[9]=5，继续失配，u=fail[5]=0，失配，u=root。匹配S[6]=h，u=4。继续匹配S[7]=e，u=5，ans=ans+1。匹配S[8]，失配。结束，那么答案就是2。
附上代码：

int query(char* str){    int len = strlen(str);    int now = rt;    int res = 0;    FOR(i,0,len){        now = ch[now][str[i]-'a'];        int temp = now;        while(temp != rt){            res += val[temp];            val[temp] = 0;            temp = fail[temp];        }    }    return res;}

这里的复杂度就是O(n∗l+S)。

练习

HDU 2222 Keywords Search