堆 算法实现

堆可以解决下面两个重要问题

• 排序：采用堆排序算法对n元素数组排序，所花的时间不会超过O（nLogn），而且只需要几个字的额外空间。
• 优先级队列：堆通过插入新元素和提取最小元素这两种操作来维护元素集合，每个操作所需的时间都为O（log n）;

堆的性质（最小堆）

• 任何节点的值都小于或等于其子节点的值。这意味着集合的最小元素位于根节点。
• 最底层的叶节点尽可能地靠左分布。树中不存在空闲的位置。
• 所有节点到根节点的距离不超过logn

堆与数组的关系

创建一下堆：

对应的数组关系：

从两者的对应关系可以看出：12元素使用x[12+1]的数组表示。第0位为空。

root = 1value(i) = X[i];leftChild(i) = 2*irightChild(i) = 2*i +1parent(i) = i/2

注：整数的除法是向下取整（如3/2 = 1）

往堆中插入元素

在堆中插入一个元素，它始终保持一下的性质：

除了新插入的元素i和它的父节点不具备堆的性质外，其余部分总是保持堆的性质。如果i==1位真，那么节点i没有父节点，那么所有地方都具有堆性质，因此可以终止循环。当节点i有父节点时，可以通过赋值语句p=i/2使p成为父节点的下标。如果x[p] <= x[i],那么所有地方都具有堆性质，循环可以终止。

伪代码实现如下：

void siftup(n)     pre n > 0 && heap(1,n-1)    post heap(1,n)i=nloop    //invariant:heap(1,n) except perhaps between i and its parents    if i == 1        break    p = i/2    if (x[p] <= x[i])        break;    swap(p,i)    i = p

从堆顶删除元素

当从堆顶删除一个元素i时，删除原理如下：
- 首先检查节点i是否具有子节点，如果没有，就终止循环。
- 如果节点i具有子节点，那么把变量c设置为较小的那个子节点的下标。最后，或者满足X[i] <= X[c]终止循环。
- 或者通过交换x[i] 和x[c]并赋值i=c继续进行到循环底部。

void siftdown(i)    pre heap(2,n) && n >= 0    post heap(1,n)i=1loop    //invariant:heap(1,n) except perhaps between i and its (0,1 or 2) children    c = 2*i    if c > n        break    if c +1 <= n        if X[c+1] < x[c]            c++    if x[i] <= x[c]        break    swap(c,i)    i = c

堆的应用一：优先级队列

优先级队列实现的数据结构介绍

优先级队列主要包含两种操作：一个入队，另一个是出队。根据应用场景选取不同数据结构的实现

数据结构及运行时间 一次Insert 一次extractmin 两次操作各n次 有序序列(数组) O(n) O(1) O(n2) 堆 O(logn) O(logn) O(nlogn) 无序序列(列表) O(1) O(n) O(n2)

堆的应用二：排序

首先在优先级队列中依次插入每个元素，然后按序删除它们。由于该算法使用了n-1次siftup和n-1次siftdown，而每次操作的开销最多为O(logn)，因此即使在最坏情况下，该算法的运行时间也是O（nlogn）。

堆的应用三：从10亿个数的文件中找出最大的100万个数。