第四章第二节换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法，使用三角代换
一、第一类换元法
定理1.设f(u)有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式∫f[φ(x)]φ ′ (x)dx=∫f(u)du| u=φ(x) 即∫f[φ(x)]φ ′ (x)dx=∫f(φ(x))dφ(x)
(也称配元法，凑微分法)
例1.求∫(ax+b) m dx(m≠−1)
解：∫(ax+b) m dx=∫1a (ax+b) m d(ax+b)=1a ∫(ax+b) m d(ax+b)=(ax+b) m+1 a(m+1) +C
例2.求∫dxa 2 +x 2
解：∫dxa 2 +x 2 =∫1a d(xa )1+(xa ) 2 =1a arctanxa +C
例3.求∫dxa 2 −x 2 − − − − − − √
解：∫dxa 2 −x 2 − − − − − − √ =∫dxa 1−(xa ) 2 − − − − − − − √ =arcsinxa +C
例4.求∫tanxdx
解：∫tanxdx=∫sinxcosx dx=∫−1cosx dcosx=−ln|cosx|+C
∫cotxdx=∫cosxsinx dx=∫dsinxsinx =ln|sinx|+C
例5.求∫dxx 2 −a 2
解：∫dxx 2 −a 2 =12a ∫[1x−a −1x+a ]dx=12a [∫d(x−a)x−a −∫d(x+a)x+a ]=12a (ln|x−a|−ln|x+a|)+C=12a ln|x−ax+a |+C
常用的几种配元形式：
(1)∫f(ax+b)dx=1a ∫(ax+b)d(ax+b)
(2)∫f(x n )x n−1 dx=1n ∫f(x n )dx n
(3)∫f(x n )1x dx=1n ∫f(x n )1x n dx n
(4)∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)dsinx
(5)∫f(cosx)sinxdx=−∫f(cosx)dcosx
(6)∫f(tanx)sec 2 xdx=∫f(tanx)dtanx
(7)∫f(e x )e x dx=∫f(e x )de x
(8)∫f(lnx)1x dx=∫f(lnx)dlnx
例6.求∫dxx(1+2lnx)
解：∫dxx(1+2lnx) =12 ∫d(2lnx+1)(1+2lnx) =12 ln|2lnx+1|+C
例7.求∫e 3x √ x √ dx
解：∫e 3x √ x √ dx=2∫e (3x √ ) d(x √ )=23 ∫e (3x √ ) d(3x √ )=23 e 3x √ +C
例8.求∫sec 6 xdx
解：∫sec 6 xdx=∫(tan 2 x+1) 2 ⋅sec 2 xdx=∫(tan 2 x+1) 2 ⋅d(tanx)=∫(tan 4 x+2tan 2 x+1)d(tanx)=15 tan 5 x+23 tan 3 x+tanx+C
例9.求∫dx1+e x
解：解法1：∫dx1+e x =∫[1−e x 1+e x ]dx=∫dx−∫e x 1+e x dx=∫dx−∫d(e x +1)e x +1 =x−ln(e x +1)+C解法2：∫dx1+e x =∫e −x e −x +e x ⋅e −x dx=∫e −x e −x +1 dx=−∫d(e −x +1)e −x +1 =−ln(e −x +1)+C=−ln[e −x (e x +1)]+C=x−ln(e x +1)+C
例10.求∫secxdx
解：解法1：∫secxdx=∫cosxcos 2 x dx=∫dsinx1−sin 2 x =12 ∫[11−sinx +11+sinx ]dsinx=12 ∫d(1+sinx)1+sinx −∫d(1−sinx)1−sinx =12 [ln|1+sinx|−ln|1−sinx|]+C=12 ln|1+sinx1−sinx |+C解法2：∫secxdx=∫secx(secx+tanx)secx+tanx dx=∫secx(secx+tanx)secx+tanx dx=∫sec 2 x+secxtanxsecx+tanx dx=∫d(secx+tanx)secx+tanx =ln|secx+tanx|+C 同理可证:∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C或∫cscxdx=ln|tanx2 |+C
例11.求∫x 3 (x 2 +a 2 ) 32 dx
解：∫x 3 (x 2 +a 2 ) 32 dx=12 ∫x 2 (x 2 +a 2 ) 32 dx 2 =12 ∫(x 2 +a 2 )−a 2 (x 2 +a 2 ) 32 d(x 2 +a 2 )=12 ∫[1−a 2 (x 2 +a 2 ) 32 ]d(x 2 +a 2 )=12 [∫(x 2 +a 2 ) −12 d(x 2 +a 2 )−a 2 ∫(x 2 +a 2 ) −32 d(x 2 +a 2 )]=12 [2⋅(x 2 +a 2 ) 12 −a 2 ⋅(−2)⋅(x 2 +a 2 ) −12 ]+C=(x 2 +a 2 ) 12 +a 2 (x 2 +a 2 ) −12 +C=x 2 +2a 2 x 2 +a 2 − − − − − − √ +C
例12.求∫[f(x)f ′ (x) −f ′′ (x)f 2 (x)f ′3 (x) ]dx
解：∫[f(x)f ′ (x) −f ′′ (x)f 2 (x)f ′3 (x) ]dx=∫f(x)f ′ (x) [1−f ′′ (x)f(x)f ′2 (x) ]dx=∫f(x)f ′ (x) ⋅f ′2 (x)−f ′′ (x)f(x)f ′2 (x) dx=∫f(x)f ′ (x) ⋅d(f(x)f ′ (x) )=12 [f(x)f ′ (x) ] 2 +C
小结 常用简化技巧：
(1) 分项积分：利用积化和差;分式分项;
1=sin 2 x+cos 2 x
(2) 降低幂次：利用倍角公式，如
cos 2 x=12 (1+cos2x);sin 2 x=12 (1−cos2x)
万能凑幂法⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∫f(x n )x n−1 dx=1n ∫f(x n )dx n ∫f(x n )1x dx=1n ∫f(x n )1x n dx n
(3) 统一函数：利用三角公式;配元方法
(4)巧妙换元或配元
练习
1.下列各题如何凑微分?
(1)∫dx4+x (2)∫dx4+x 2 (3)∫x4+x 2 dx
解：(1)∫dx4+x =∫d(4+x)4+x =ln|4+x|+C(2)∫dx4+x 2 =12 ∫dx2 1+(x2 ) 2 =12 arctanx2 +C(3)∫x4+x 2 dx=12 ∫14+x 2 d(4+x 2 )=12 ln(4+x 2 )+C
2.求∫dxx(x 10 +1)
解：∫dxx(x 10 +1) =110 ∫dx 10 x 10 (x 10 +1) =110 ∫[1x 10 −1x 10 +1 ]dx 10 =110 [∫dx 10 x 10 −∫d(x 10 +1)x 10 +1 ]=110 [ln|x 10 |−ln|x 10 +1|]+C=110 lnx 10 x 10 +1 +C
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
∫f[φ(x)]φ ′ (x)dx=∫f(u)du| u=φ(x)
若所求积分∫f(u)du难求,∫f[φ(x)]φ ′ (x)dx易求,则得第二类换元积分法.
定理2.设x=ψ(t)是单调可导函数,且ψ ′ (t)≠0,f[ψ(t)]ψ ′ (t)具有原函数,则有换元公式∫f(x)dx=∫f[ψ(t)]ψ ′ (t)dt| t=ψ −1 (x) =Φ[t]+C| t=ψ −1 (x) 其中t=ψ −1 (x)是x=ψ(t)的反函数
例1.求∫a 2 −x 2 − − − − − − √ dx(a>0).
解：令x=asint,t∈(−π2 ,π2 ),a 2 −x 2 − − − − − − √ =a 2 −a 2 sin 2 t − − − − − − − − − − √ =acostdx=acostdt∫a 2 −x 2 − − − − − − √ dx=∫acost⋅acostdt=a 2 ∫cos 2 tdt=a 2 (t2 +sin2t4 )+C=a 2 (t2 +sintcost2 )+C=a 2 (arcsinxa 2 +xa a 2 −x 2 √ a 2 )+C=a 2 2 arcsinxa +12 xa 2 −x 2 − − − − − − √ +C
例2.求∫dxx 2 +a 2 − − − − − − √ (a>0)
解：令x=atant,t∈(−π2 ,π2 ),dx=adtant=asec 2 tdt∫dxx 2 +a 2 − − − − − − √ =∫asec 2 tdtatan 2 t+1 − − − − − − − − √ =∫asec 2 tdtasect =∫sectdt=ln|sect+tant|+C 1 =ln|x 2 +a 2 a +xa |+C 1 =ln(x+x 2 +a 2 − − − − − − √ )−lna+C 1 =ln(x+x 2 +a 2 − − − − − − √ )+C
例3.求∫dxx 2 −a 2 − − − − − − √
解：当x>a时,令x=asect,t∈(0,π2 ),则x 2 −a 2 − − − − − − √ =a 2 sec 2 t−a 2 − − − − − − − − − − √ =atantdx=asecttantdt∫dxx 2 −a 2 − − − − − − √ =∫asecttanttant dt=∫sectdt=ln|sect+tant|+C 1 =ln|xa +x 2 −a 2 − − − − − − √ a |+C 1 =ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |−lna+C 1 =ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |+C当x<−a时,令x=−u,则u>a,于是∫dxx 2 −a 2 − − − − − − √ =−∫duu 2 −a 2 − − − − − − √ =−ln|u+u 2 −a 2 − − − − − − √ |+C 1 =−ln|−x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |+C 1 =−ln|a 2 −x−x 2 −a 2 − − − − − − √ |+C 1 =ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ a 2 |+C 1 =ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |−2lna+C 1 =ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |+C
小结：
1.第二类换元法常见类型：
(1)∫f(x,a 2 −x 2 − − − − − − √ )dx,令x=asint或x=acost
(2)∫f(x,a 2 +x 2 − − − − − − √ )dx,令x=atant或x=a sh t
(3)∫f(x,x 2 −a 2 − − − − − − √ )dx,令x=asect或x=a ch t
2.常用基本积分公式的补充
(1)∫tanxdx=ln|cosx|+C
(2)∫cotxdx=ln|sinx|+C
(3)∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
(4)∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C
(5)∫1a 2 +x 2 dx=1a arctanxa +C
(6)∫1x 2 −a 2 dx=12a ln|x−ax+a |+C
(7)∫1a 2 −x 2 − − − − − − √ dx=arcsinxa +C
(8)∫1x 2 +a 2 − − − − − − √ dx=ln(x+x 2 +a 2 − − − − − − √ )+C
(9)∫1x 2 −a 2 − − − − − − √ dx=ln|x+x 2 −a 2 − − − − − − √ |+C
例4.求∫dxx 2 +2x+3
解：∫dxx 2 +2x+3 =∫d(x+1)(x+1) 2 +(2 √ ) 2 =2 √ 2 arctan2 √ (x+1)2 +C
例5.求∫dx4x 2 +9 − − − − − − √
解：∫dx4x 2 +9 − − − − − − √ =12 ∫d(2x)(2x) 2 +3 2 − − − − − − − − √ =12 ln(2x+4x 2 +9 − − − − − − √ )+C
例6.求∫dx1+x−x 2 − − − − − − − − − √
解：∫dx1+x−x 2 − − − − − − − − − √ =∫d(x−12 )(5 √ 2 ) 2 −(x−12 ) 2 − − − − − − − − − − − − − − √ =arcsinx−12 5 √ 2 +C=arcsin5 √ (2x−1)5 +C
例7.求∫dxe 2x −1 − − − − − − √
解：∫dxe 2x −1 − − − − − − √ =−∫de −x 1−(e −x ) 2 − − − − − − − − √ =−arcsine −x +C
例8.求∫1(1+x 2 )1−x 2 − − − − − √ dx
解：令x=sint,∫1(1+x 2 )1−x 2 − − − − − √ dx=∫1(1+sin 2 t)1−sin 2 t − − − − − − − √ dsint=∫1(1+sin 2 t)cost costdt=∫1(1+sin 2 t) dt↓(分子分母同除cos 2 t)=∫sec 2 t(sec 2 t+tan 2 t) dt=∫dtant(1+2tan 2 t) =12 √ ∫d(2 √ tant)(1+(2 √ tant) 2 ) =12 √ arctan(2 √ tant)+C=12 √ arctan2 √ x1−x 2 − − − − − √ +C
