数学分析 复合函数求导法则

y=g(x) 在 x=x0 可导，而函数 z=f(y) 在 y=y0=g(x0) 可导，则复合函数在 x=x0 可导，且
(f∘g)′(x0)=f′(y0)g′(x0)=f′(g(x0))g′(x0)

证明

因为 z=f(y) 在 y=y0=g(x0) 可导， 所以
∀Δy∈{Δy>0:y0+Δy∈Df},f(y0+Δy)−f(y0)=f′(y0)Δy+Δy⋅α,limy→y0α=0,
Δy=0时， 令 α=0, 则 ∀Δy∈{Δy:y0+Δy∈Df}, 上式都成立。
令 Δy=g(x0+Δx)−g(x0), 由于 limΔx→0Δy=0, 因此 limΔx→0α=0.
因此：

∀Δx∈{Δx>0:x0+Δx∈Dg},

(f∘g)(x0+Δx)−(f∘g)(x0)Δx

=f(g(x0+Δx))−f(g(x0))Δx

=f(y0+Δy)−f(y0)Δx

=f′(y0)Δy+Δy⋅αΔx

=f′(y0)ΔyΔx+ΔyΔxα

→f′(y0)g′(x0),Δx→0