§第七章第四节多元复合函数的求导法则
一元复合函数y=f(u),u=φ(x)求导法则dydx=dydu⋅dudx微分法则dy=f′(u)du=f′(u)φ′(x)dx
熟练掌握多元复合函数求导的链式法则
定理.若函数u=φ(t),v=ψ(t)在点t可导,z=f(u,v)在点(u,v)处偏导连续,则复合函数z=f(φ(t),ψ(t))在点t可导,且有链式法则dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt
证:设t取增量Δt,则相应中间变量有增量Δu,Δv,Δz=∂z∂uΔu+∂z∂vΔv+o(ρ)(ρ=(Δu)2+(Δv)2−−−−−−−−−−−−√)两边同时除以ΔtΔzΔt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt+o(ρ)Δt(ρ=(Δu)2+(Δv)2−−−−−−−−−−−−√)令Δt→0,则有Δu→0,Δu→0ΔuΔt→dudt,ΔvΔt→dvdto(ρ)Δt=o(ρ)ρ(ΔuΔt)2+(ΔvΔt)2−−−−−−−−−−−−−√→0(Δt<0时，根式前加”−“号)(ΔuΔt)2+(ΔvΔt)2−−−−−−−−−−−−−√是常数，o(ρ)ρ→0∴dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt(全导数公式)
推广:中间变量是多元函数的情形.例如,z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=f′1φ′1+f′2ψ′1∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y=f′1φ′2+f′2ψ′2
又如,z=f(x,y),v=ψ(x,y)当他们都具有可微条件时,有∂z∂x=∂f∂x+∂f∂v⋅∂v∂x=f′1+f′2ψ′1∂z∂y=∂f∂v⋅∂v∂y=f′2ψ′2
注意：这里∂z∂x与∂f∂x不同,∂z∂x表示固定y对x求导,∂f∂x表示固定v对x求导
口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导
例1.设z=eusinv,u=xy,v=x+y,求∂z∂x,∂z∂y
解:∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=eusinv⋅y+eucosv⋅1=eu(ysinv+cosv)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y=eusinv⋅x+eucosv⋅1=eu(xsinv+cosv)=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]
例2.设z=uv+sint,u=et,v=cost,求全导数dzdt
解:dzdt=∂z∂u⋅dudt+∂z∂v⋅dvdt+∂z∂t=v⋅et+u⋅(−sint)+cost=et(cost−sint)+cost
注意：多元抽象复合函数求偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题和常用的导数符号
内容小结
复合函数求导的链式法则
弄清结构，选对公式
练习
1.已知f(x,y)|y=x2=1,f′1(x,y)|y=x2=2x,求f′2(x,y)|y=x2.
解:由f(x,x2)=1两边对x求导,得f′1(x,x2)+f′2(x,x2)⋅2x=02x[1+f′2(x,x2)]=0f′2(x,x2)=−1即f′2(x,y)|y=x2=−1
2.设z=sin(xy2),求∂z∂x,∂z∂y
解:令u=xy2,则z=sinu∂z∂x=dzdu⋅∂u∂x=cosu⋅y2=y2cos(xy2)∂z∂y=dzdu⋅∂u∂y=cosu⋅2xy=2xycos(xy2)
3.设z=f(x2y,y2),求∂z∂x,∂z∂y
解:令u=x2y,v=y2∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=f′1(u,v)⋅2xy+f′2(u,v)⋅0=2xy⋅f′1(x2y,y2)∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y=f′2(u,v)⋅x2+f′2(u,v)⋅2y=f′2(x2y,y2)⋅x2+f′2(x2y,y2)⋅2y
4.设z=f(yx),f(u)为可微函数，证明:x∂z∂x+y∂z∂y=0
证:u=yxx∂z∂x+y∂z∂y=x∂z∂u⋅∂u∂x+y∂z∂u⋅∂u∂y=x∂z∂u⋅−yx2+y∂z∂u⋅1x=∂z∂u⋅y−yx=0
5.设z=(x+2y)(x+2y),求∂z∂x,∂z∂y
解:令u=x+2y,v=x+2y,z=uv∂z∂x=∂z∂u⋅∂u∂x+∂z∂v⋅∂v∂x=vuv−1⋅1+uvlnu⋅1=(x+2y)(x+2y)(x+2y−1)+(x+2y)(x+2y)ln(x+2y)=(x+2y)(x+2y)(1+ln(x+2y))∂z∂y=∂z∂u⋅∂u∂y+∂z∂v⋅∂v∂y=vuv−1⋅2+uvlnu⋅2=2(x+2y)(x+2y)(x+2y−1)+2(x+2y)(x+2y)ln(x+2y)=2(x+2y)(x+2y)(1+ln(x+2y))
