[jzoj]3472. 【NOIP2013模拟联考8】匹配(match)（AC自动机+DP）

Problem

给定k个字符串以及长度为n的母串可选字母的集合，问母串要完整出现给定的k个字符串的方案数，答案模1000000007，字符仅包含小写字母。

Data constraint

30%的数据n<=10，m<=3。

60%的数据n<=40。

另有10%的数据k=0。

另有10%的数据m=1。

100%的数据n<=100，m<=10，k<=8，给定字符串长度<=30。

Solution

• 明眼人都看到了这里的k很小，是否可以考虑状压呢？

• 但是，如何记录每一个字符串当前的状态，这是个麻烦.

AC自动机的引入

• AC自动机= Trie + kmp

• 简单来说就是利用了KMP的思想，再用Trie去实现.

• AC自动机的模型是：

  • 给定m个匹配串，给定长度为n的模式串，要求有多少个匹配串出现在模式串里.

  • 让我们来看一道裸题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2222

  • AC自动机的核心是：fail指针.

  • fail指针的含义如下：

    • 一个节点root的fail指针指向的k的儿子中有一个root节点字符.

  • 想要彻底弄懂fail指针并不是很简单，这里不详细讲述.

  • 构建fail，采取bfs.

  • 随后，我们扫一遍匹配串，然后如果当前节点能在Trie里继续往下走，我们就走，否则跳到fail指针，显然这样的策略是最优的.

  • 这里有两个小细节需要注意：

    • ①构建fail时，我们的首选肯定是其父亲的fail指针所往下的点，但事实上，大部分情况下，我们可能不能继续往下

      • 这时候，我们并不是直接把这个节点的fail指向root，而是继续往期的fail[fail[root]]找，一直fail−>fail−>fail……直到找到为止.

    • ②在查询答案时，指针走到了一个节点j，不能只加上这一个节点的贡献，而要把其对应的fail−>fail−>fail……都给更新完.

      • 为了保证匹配是O(n)的，我们一个节点如果已经作出贡献，就标记一下，保证下次不再更新.

• 对于这道题，如果掌握了AC自动机，那就显得非常easy了

• 我们显然就是设f[i][j][s]表示到AC自动机第i个点，构建到了字符串的第j位，已被匹配完的串状态为S的方案数.

• 枚举下一个点选什么即可.

• 同时也要注意“AC自动机”的注意②