51nod 1742 开心的小Q (容斥，分块)

1742 开心的小Q

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

如果一个数字存在一个约数是大于1的完全平方数，那么小Q就认为这个数是有趣的。

小Q喜欢收集有趣的数字，每找到一个有趣的数，小Q就会变得很开心。

小Q发现12是有趣的，18也是有趣的，它们都是36的约数，而在36的约数中，还有3个数是有趣的，它们是4、9、36。

小Q很好奇，在a~b里每个数字各有多少个有趣的约数，由于a和b太大了，所以他只想知道这些个数之和是多少。

例如4有1个有趣的约数，8有2个有趣的约数，9有1个有趣的约数，所以1~10里每个数的有趣约数个数之和是4。

Input

输入数据包括2个数：a, b，中间用空格分隔。（1≤a≤b≤10^9）

Output

输出a~b里每个数字的有趣约数个数之和。

Input示例

1 10

Output示例

4

题意：汉语题意就不在描述了。

思路：先求1到b，在求出1到a-1，然后做差。

任意一个完全平方数的倍数如果小于b，那么这个完全平方数的贡献就会加一次。那么这个完全平方数x的总贡献为b/x+b/(x*2)+b/(x*3)+b/x*4+....直到x的倍数大于b为止（这个地方要用分块会快一点）。所有完全平方数的贡献之和就是答案，但是有一点，36是完全平方数，4,9也是完全平方数，那么在计算4和9的倍数的时候，36被算了两次，那么这样有些数字被多次计算，所以要用容斥定理解决这个问题。

首先将所有小于b的完全平方数求出来，

4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196.......然后

1, 1 , 1, 1, 1,  1，1,  1,    1,    1,   1,    1,   1......这些数字是表示应该加上（这个完全平方数的贡献）的倍数。

计算完4以后，那么4的所有的（完全平方数）倍数，全部多算了1个，那么时4的（完全平方数）倍数所要计算的次数全部减一，减完后计算次数如下：

4,9,   16,  25,  36,  49, 64，81,100,121,144,169,196......

1, 1 , 1-1,   1, 1-1,   1，1-1,  1  ,1-1,   1 , 1-1,  1 , 1-1......

然后计算9，那么9的所有（完全平方数）倍数全部减去9算的次数

4,9,   16,  25,  36,  49,  64，81,100,121,144,169,196........

1, 1 ,    0,   1,  0-1,   1，   0,1-1,   0,   1 ,0-1,  1 ,   0.......

然后16为0就不用算了，然后算25的

4,9,   16,  25,  36,  49,  64，81,100,121,144,169,196........

1, 1 ,    0,   1,  -1,   1，   0,    0 , 0-1,   1 ,-1,   1 ,    0.......

然后算36,36的倍数是-1，（这是因为4，和9都算了36，所以多算了一遍，所以要减去36的贡献的一倍）

然后就这样一直算下去，算完所有的完全平方数的贡献即可。

b/x+b/(x*2)+b/(x*3)+b/x*4+....算贡献的时候，x如果很小，b很大，那么这个式子是不能一个一个除的，所以用分块的思想，如果b/y和b/(y+x)和b/(y+x*2)和b/(y+x*3)的值一样，到b/(y+x*4)的值减小了，那么我能不能求出有多少个数字的值是和b/y的值是一样的，现在先将这个值算出来是b/y,那么b/(b/y)就是这个b/?这个数字(?)的最大值了。那么二分一下找一个最大的L值

y+L*x<=b/(b/y);用二分的范围无法确定，那么就用倍增思想解决这个问题，找到的最大的L值加上1再乘以（b/y）就是这一块的贡献了。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<queue>#include<string>#include<algorithm>#define inf 0x3f3f3f3f#define LL long longusing namespace std;LL F(int &i,int y,int x)//这里的i是引用的{    int l=0,r=1,mid;    int xx=x/(x/i);    while(i+r*y<=xx)//倍增思想    {        l=r;        r*=2;    }    while(l<r)    {        mid=(l+r+1)/2;        if(i+mid*y<=xx) l=mid;        else r=mid-1;    }    i=i+l*y;//找到最大的符合条件的l值    return (LL)x/i*(l+1);}LL love(int y,int x){    LL sum=0LL;    for(int i=y;i<=x;i+=y)        sum+=F(i,y,x);    return sum;}int p[100000];LL slove(int x){    memset(p,0,sizeof(p));    int lx=0;    for(int i=2;i*i<=x;i++)    {        p[i]=1;//存该数字要计算的贡献的倍数        lx=i;//存最大的i    }    LL sum=0;    for(int i=2;i<=lx;i++)    {        if(!p[i]) continue;        sum+=p[i]*love(i*i,x);        for(int j=i*2;j<=lx;j+=i)            p[j]-=p[i];//更新倍数    }    return sum;}int main(){    int a,b;    scanf("%d%d",&a,&b);    printf("%I64d\n",slove(b)-slove(a-1));}