两个数最大公约数几种算法

解法一：
欧几里得辗转相除法：
f(x,y) = GCD(x,y), 取k = x / y, b = x % y,则：x = k*y + b;
如果一个数能整除x,y,则它也能整除b,y； 而且能整除b,y的数必能整除x,y，即x,y和b,y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y) = f(y ,x % y) (x>=y>0)

递归

package lq.ithyl.basis;

import java.util.Scanner;

public class Zdg_1 {public static void main(String[] args) {Scanner sc =new Scanner(System.in);int a=sc.nextInt();int b=sc.nextInt();int s=new Zdg().gcd(a, b);    System.out.println(s);    }        int gcd(int a,int b){            if(b==0){            return a;            }else{                return gcd(b,a%b);            }        }}

非递归

package lq.ithyl.basis;import java.util.Scanner;public class Zdg_2 {    public static void main(String[] args) {    Scanner sc =new Scanner(System.in);    int a=sc.nextInt();    int b=sc.nextInt();    int s=new Zdg_2().gcd(a, b);        System.out.println(s);        }            int gcd(int a,int b){                int temp = a;                  while(b>0){                      a = b;                      b = temp % b;                  }                  return a;            }    }

解法二：
分析：
对于x,y,如果y = k * y1,x = k * x1,则f(y,x) = K*f(x1,y1)；
如果x = p * x1, 假设p是素数，且 y % p != 0 ,即y不能被p整除，则f(x,y) = f(x1,y).
可以利用上面两点进行改进。因为2是素数，同时对于二进制表示的大整数而言可以很容易的将除以2和乘以2的算法转换为移位运算，从而避免大整数除法。
可以充分利用2进行分析：
若x,y都为偶数（2肯定是公约数），则f(x,y) = 2*f(x / 2,y / 2) = 2*f(x>>1,y>>1);
若x为偶数，y为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(x / 2, y / 2) = f(x>>1, y)
若x为奇数，y为偶数2肯定不是公约数)，则f(x,y)= f(x, y / 2) = f(x, y>>1)
若x,y都为奇数（2肯定不是公约数），则f(x,y) = f(y, x-y) (x-y肯定为偶数) = f（y, (x-y)/2）
package lq.ithyl.basis;

    import java.util.Scanner;    public class Zdg_3 {        public static void main(String[] args) {        Scanner sc =new Scanner(System.in);        int a=sc.nextInt();        int b=sc.nextInt();        int s=new Zdg_3().gcd(a, b);            System.out.println(s);            }                int gcd(int a,int b){                    //如果a < b                      if(a < b){                          return gcd(b,a);                      }                      if(b == 0){                          return a;                      }                      //若x,y都为偶数                      if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 1){                          return 2 * gcd(a>>1,b>>1);                      }                      //若x,y都为奇数                      else if(IsEvenOdd(a) == 0 && IsEvenOdd(b) == 0){                          return gcd(b,a-b);                      }                      //若x是偶数y是奇数                      else if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 0){                          return gcd(a>>1,b);                      }                      //若x是奇数y是偶数                      else{                          return gcd(a,b>>1);                      }                 }                //判断奇偶性                  int IsEvenOdd(int n){                      if(n % 2 == 0){                          return 1;                      }                      else{                          return 0;                      }         }}

三：
在解法一中我们用到了取模运算。在大整数中取模运算（涉及到除法运算）是非常高贵的开销。
我们想想避免用取模运算。
类似前面的分析，一个数能整除x,y则必能同时整除x - y，y。能同时整除x - y,y 则必能同时整除x，y。即x,y的公约数和x-y,y的公约数是一样的，其最大公约数也是一样的。
package lq.ithyl.basis;

    import java.util.Scanner;    public class Zdg_4 {        public static void main(String[] args) {        Scanner sc =new Scanner(System.in);        int a=sc.nextInt();        int b=sc.nextInt();        int s=new Zdg_4().gcd(a, b);            System.out.println(s);            }                int gcd(int a,int b){                    //如果a < b                      if(a < b){                          return gcd(b,a);                      }                      if(b == 0){                          return a;                      }                      else{                          return gcd(a - b,b);                      }                  }}