51nod 1040 最大公约数之和（容斥思想）

1040 最大公约数之和

题目来源： rihkddd

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和

Input示例

6

Output示例

15

题意很简单。

思路：你可以确定的是1到n这些数字与n的gcd一定是n的约数，那么n的约数，你先枚举出来。

假如是n=20，那么20的约数有：1,2,4,5,10,20；

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20   （i）
 1  2  1  4  5  2  1  4  1 10   1   4   1  2   5   4   1  2   1 20   （gcd）

这些数字可以按照gcd的值进行分类。

1,2,4,5,10,20（及按约数分类，这一类有（20/约数）个）

1 2 4 5 10 20 （与20的gcd的剩余值）（剩余值：前面计算过的贡献就减去，留下剩余的gcd）

我先算约数为1的哪一类，有哪些数字与20的gcd是1的倍数，就有20/1个数字，所以20/1*1及为约数1的贡献值，

因为1算的是1-20中所有的数字都算了1，所有数字的gcd剩余值都要减去1，因为我已经把gcd分了类，所以只需要把这一类的gcd减去1即可，

及

1,2,4,5,10,20（及按约数分类）

1 1 3 4  9  19 （与20的gcd的剩余值）因为一部分1已经算过了，所以其他的gcd剩余要算的值都减去1

然后算约数为2的贡献，有10个数字gcd是包含2的（如2,4,6,8，...20，那么约数若是2的倍数，那么就要减去2计算过的gcd），20/2*1，这个是2的贡献

1,2,4,5,10,20（及按约数分类）

1 1 2 4  8  18（与20的gcd的剩余值）（4,10,20这几个约数是2的倍数所以gcd剩余值要减去1（这个1是2与20剩余的gcd））

然后算约数为4的贡献，有20/4个数字gcd是包含4的，20/4*2，这个是4的贡献

1,2,4,5,10,20（及按约数分类）

1 1 2 4  8  16（与20的gcd的剩余值）（20这个约数是4的倍数所以gcd剩余值要减去2）

1,2,4,5,10,20（及按约数分类）

1 1 2 4  4  12（与20的gcd的剩余值）

1,2,4,5,10,20（及按约数分类）

1 1 2 4   4   8（与20的gcd的剩余值）

答案为20/1*1+20/2*1+20/4*2+20/5*4+20/10*4+20/20*8=72

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<queue>#include<string>#include<algorithm>#define inf 0x3f3f3f3f#define LL long longusing namespace std;int s[100001],ls=0;//存约数int k[100001];//gcd剩余值int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i*i<=n;i++)    {        if(n%i) continue;        s[ls++]=i;        if(i*i!=n) s[ls++]=n/i;    }    sort(s,s+ls);    for(int i=0;i<ls;i++)        k[i]=s[i];    LL sum=0;    for(int i=0;i<ls;i++)    {        sum+=(LL)k[i]*n/s[i];        for(int j=i+1;j<ls;j++)        {            if(s[j]%s[i]) continue;            k[j]-=k[i];        }    }    printf("%I64d\n",sum);}