【离散数学】1.2特殊集合与集合间关系

空集

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定义

不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作∅
空集可以符号化为∅={x|x≠x}

举例

• 设A={x|x∈R,x2<0}，则A=∅
• |∅|=0,|{∅}|=1

空集是绝对唯一的

全集

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定义

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集（universal set），记作⋃或E
在文氏图一般使用方形表示全集。

举例

• 在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；
• 在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。

全集是相对唯一的

集合的相等关系

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元素的基本特性

• 集合中的元素是无序的。{1,2,3,4}与{2,3,1,4}相同。
• 集合中的元素是不同的。{1,2,2,3,4,3,4,2}与{1,2,3,4}相同。

举例

设E={x|(x−1)(x−2)(x−3)=0,x∈R},F={x|x∈Z+,x2<12}，可见E和F具有相同的元素{1,2,3}，此时称两个集合相等

外延性原理

两个集合A和B相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为A=B，否则A和B不相等，记为A≠B

子集和真子集

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举例

设A={BASIC, PASCAL, ADA}，B={ADA, PASCAL}，此时A中含有B中所有的元素，这种情况称为A包含B

定义

设A, B是任意两个集合，

• 如果B的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，也称作B被A包含或A包含B，记作B⊆A
• 如果B⊆A并且A≠B，则称B是A的真子集，也称作B被A真包含或A真包含B，记作B⊂A，否则记作B⊄A

“⊆”关系的数学语言描述为：B⊆A⟺对∀x，如果x∈B，则x∈A

文氏图

由子集定义可有

1. ∅⊆A
2. A⊆A

举例

已知A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 4}, C={2, 3}, D={3 ,2}，可见

1. A⊆A, B⊆A, C⊆A, D⊆A
2. C⊆D, D⊆C，同时，C=D

证明集合相等

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设A, B为任意两个集合，则A=B⟺A⊆B并且B⊆A

上面的定理非常重要，这是证明集合相等的一种非常有效的方式。

证明框架

证明：

1. 首先证明A⊆B：∀x∈A,…,x∈B∴A⊆B
2. 其次证明B⊆A：∀x∈B,…,x∈A∴B⊆A

由以上两点，可知A=B。

n元集的子集

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举例

设A={a, b, c}，求出A的所有子集。
解：由于|A|=3，因而 A 的子集可能包含的元素个数m=0, 1, 2, 3

• m=0,即没有任何元素，也就是空集∅
• m=1,从A中任取1个元素，则有C13=3个：{a}, {b}, {c}
• m=2,从A中任取2个元素，则有C23=3个：{a, b}, {b, c}, {a, c}
• m=3,从A中任取3个元素，则有C33=1个：{a, b, c}

以上8个集合就是A的所有子集。

推广：对于任意n元集合A，它的m元(0⩽m⩽n)子集个数为Cmn个,所以不同的子集个数为：C0n+C1n+…+Cnn=(1+1)n=2n

幂集

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定义

设A为任意集合，把A的所有不同子集构成的集合叫做A的幂集(power set),记作P(A)，即

P(A)={x|x⊆A}

由此可得

x∈P(A)⟺x⊆A

举例

设A={a, b, c}，B={a, {b, c}}，求他们的幂集P(A)和P(B)。
解：P(A)={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
P(B)={∅, {a}, {{b, c}}, {a, {b, c}}}

说明

幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。