Eratosthenes筛法

Eratosthenes筛法

　　Ps.这是本人写的第一篇博客，故必有不足之处，希望大家多多包涵，并提出好的意见与建议。我自己曾经是一名OIer，所以深知初学者学算法的不易。之后我会不定期地写一些介绍算法的文章与大家分享，还请各位支持！
　　那么，回归正题，本文主要讲解“Eratosthenes筛法”。
现考虑一个问题：如果要求出从1到n的所有素数，该怎么做呢？当然我们可以一个一个来判断是否为素数，但这显然太慢了。因此，我们会使用筛法来构造素数表。
　　先来讲一下线性的筛法吧。其思想非常简单：对于不超过n的每个大于1的正整数p，删除2p，3p，4p，……，当处理完所有数之后，还没有被删除的数即为素数。下面用vis[i]表示i已经被删除，给出线性筛的代码。

memset(vis, 0, sizeof(vis));for(int i = 2; i <= n; i++)    for(int j = i*2; j <= n; j += i)        vis[j] = 1;

　　接着我们来讲述Eratosthenes筛法，其实个人理解也就是线性筛优化后的产物。在上述方法中，容易看出：合数会被多次重复删除。对于任意合数，都会被其除了1和本身之外的所有因子各筛去一次。例如，12这个数会被2,3,4,6这四个数都筛掉一遍。如果一个数的因子很多，那么就会被筛去很多次，这就做了很多的无用功。因此，我们要尽量避免一些重复。
　　首先，我们没有必要对所有的正整数p进行操作，而是可以仅把p限定为素数——只需在第二重循环前加一个判断if(!vis[i])即可。这时，对p的循环不需要循环至n，只要至n√就行。此外，内层循环也完全不必从i*2开始，而是只需从i*i开始。改进后的Eratosthenes筛法代码如下：

int m = sqrt(n+0.5);memset(vis, 0, sizeof(vis));for(int i = 2; i <= m; i++)    if(!vis[i])        for(int j = i*i; j <= n; j += i)            vis[j] = 1;

　　最后，再提一下素数定理。在不超过n的正整数中，大约有多少个是素数呢？
　　素数定理：π(x)∼xlnx
　　上述定理的直观含义是：不超过x的素数的个数和xlnx比较接近。

N 102 103 104 105 106 107 π(n) 25 168 1229 9592 78498 664579 nlnn 22 145 1086 8686 72382 620421