运筹学（1）-最速下降法

运筹学（1）
多维无约束优化算法——梯度法之最速下降法

最近学习运筹学开始学习一些优化的算法，之后的一系列博客我会分享一些我学到的运筹学方法。这次我总结了我学习的最速下降法。

1. 原理
最速下降法是一个优化算法，用于求解多维无约束问题。最速下降法由于只考虑到当前下降最快而不是全局，所以最速下降法又叫做瞎子爬山法。最速下降法属于求解非线性规划问题的迭代法。它的关键是得到每步迭代的方向 p(k) 和步长 t 。

(1)搜索方向 p(k) 的确定
方向p为单位向量， ||p||=1 ,从 x(k) 按方向 p ,步长 t 进行搜索得到下一点 x(k+1)=x(k)+tp 。在这里我们用到泰勒展开式得：

f(x(k)+tp)=f(x(k))+tΔf(x(k))Tp+o(t)

可以得到在x(k)处的变化率：

limt→0f(x(k)+tp)−f(x(k))t=limt→0tΔf(x(k))Tp+o(t)t=Δf(x(k))Tp

从上式可以得到要使在 x(k) 下降速度最快就要使在 x(k) 的变化率最小，所以就要使 Δf(x(k))Tp 最小。然而 Δf(x(k))Tp=||Δf(x(k))||⋅||p||⋅cosθ=||Δf(x(k))||⋅cosθ . 要使其最小就要使 cosθ=−1 .可以得到 p=−f(x(k))||Δf(x(k))|| .
从上述就可以确定最速下降法的搜索方向为 p=−f(x(k)) .

(2)求解搜索步长 t
最速下降法所采取的搜索步长的策略有两种：
一种是最优步长搜索法，即 f(x(k)+tp)=minf(x(k)+tp) .通过求最小值求得步长。

另一种是近似最佳步长

f(xk−tΔf(x(k)))≈f(x(k))−tΔf(x(k))TΔf(x(k))+12tΔf(x(k))TH(x(k))tΔf(x(k)).

对上式求导并等于零，可以得到步长 t=Δf(x(k))TΔf(x(k))Δf(x(k))TH(x(k))Δf(x(k)) 。

2.算法步骤
(1).选取初始点 x(0) ,设置终止误差 ϵ>0 ，k=0
(2).计算Δf(x(k)),如果Δf(x(k))<ϵ搜索迭代终止，否则继续下一步。
(3).计算搜索方向p
(4).计算搜索步长t,可以得到x(k+1)=x(k)+tp.接着进行第(2)步。

3.例子

用最速下降法求解无约束非线性规划问题

minf(x)=x21+2x22−2x1x2−2x2

其中x=(x1,x2)T,要求选取初始点x(0)=(0,0)T.

解:(1)Δf(x)=(2x1−2x2,4x2−2x1−2)T
(2)Δf(x(0))=(0,−2)T
(3)p=−Δf(x(0))=(0,2)T
(4)求步长t,用最优步长策略：
f(x(1))=f(x(0)+tp)=minf(x(0)+tp)
得步长t=14
(5)x1=x0+tp=(0,12)T
按照上述方法继续迭代直到达到迭代终止条件，x∗=1

4.优缺点

优点：
（1）每一步迭代简单，对初始点要求少
缺点：
（1）由于是对每一步进行最优迭代，但是整体的收敛下降速度不一定最快。
（2）用最速下降法求最优问题，迭代路径呈直角锯齿形如下图，开始的几步迭代很快，但越接近最优点收敛速度越慢。

这是我第一次写博客，如有写的不好的地方希望大家提提建议，谢谢哈！！！